Utilize o teorema de Green apra calcular
, onde é a elipse , no sentido anti-horário.

Passo 1

Resumo: a questão pede para calcular a integral de linha I=ointCP,dx+Q,dy com P=e^xsin y e Q=x+e^xcos y, onde C é a elipse 3x^2+8y^2=24, usando o Teorema de Green. Vamos precisar entender o enunciado, aplicar o teorema, calcular derivadas parciais e depois achar a área da região interna à elipse.

Passo 2

Pelo Teorema de Green em contornos orientados positivamente (anti-horário) temos
ointCP,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x=1+e^xcos y, partial Ppartial y=e^xcos y
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y=1+e^xcos y - e^xcos y=1

Passo 4

A região D é a elipse 3x^2+8y^2<=24, que reescrevemos como
x^28 + y^23<=1
isto mostra semieixos a=raiz8=2raiz2 e b=raiz3.

Passo 5

Como o integrando é 1, a integral dupla sobre D é simplesmente a área da elipse:
integral duplaD1,dA=pi a b=pi,(2raiz2),(raiz3)=2raiz6,pi
Portanto,
I = 2\sqrt6\pi

Resposta

2\sqrt6\pi

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