Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
sn=sum 1raiz2^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty1raiz2^n converge ou diverge. O conteúdo é convergência de séries numéricas e vamos poder usar a identificação de série geométrica ou o teste da raiz.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral: an=1raiz2^n=2^-n/2=l(2^-1/2r)^n=l(1raiz2r)^n

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica de razão r=1/raiz2. Como |r|=1/raiz2<1, a série geométrica converge.

Passo 4

Alternativamente, pelo teste da raiz: limntoinftyraiz[n]|an|=limntoinftyraiz[n]2^-n/2=2^-1/2=1raiz2<1, logo a série converge.

Resposta

A série converge, pois é uma série geométrica com razão r=1/raiz2<1.

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