Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
sn=sum ln 1n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série infinita sumn=1^infty ln1n converge ou diverge. O assunto aqui é séries numéricas e vamos precisar usar a propriedade dos logaritmos para transformar a soma em produto e, em seguida, estudar o comportamento do fatorial.

Passo 2

Usando a propriedade lntfrac1n = -ln n, reescrevemos a série como
sumn=1^infty ln1n = -sumn=1^infty ln n

Passo 3

Chamando SN a soma parcial até n=N, temos
SN = -sumn=1^N ln n = -lnl(prodn=1^N nr) = -ln(N!)

Passo 4

Para ver o que acontece com SN quando Ntoinfty, podemos usar o fato (ou uma forma elementar de estimar) que
ln(N!)to +inftyquando Ntoinfty

Passo 5

Uma explicação simples é usar o limite de Stirling, que diz que
ln(N!)sim Nln N - N(Ntoinfty),

Passo 6

logo ln(N!)to+infty e, portanto,
SN = -ln(N!) to -infty(Ntoinfty)

Passo 7

Como a soma parcial não se aproxima de um valor finito, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois as somas parciais vão a -infty.

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