Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série infinita
converge ou diverge. O assunto aqui é séries numéricas e vamos precisar usar a propriedade dos logaritmos para transformar a soma em produto e, em seguida, estudar o comportamento do fatorial.
Passo 2
Usando a propriedade
, reescrevemos a série como
Passo 3
Chamando
a soma parcial até
, temos
Passo 4
Para ver o que acontece com
quando
, podemos usar o fato (ou uma forma elementar de estimar) que
Passo 5
Uma explicação simples é usar o limite de Stirling, que diz que
Passo 6
logo
e, portanto,
Passo 7
Como a soma parcial não se aproxima de um valor finito, a série diverge.
Resposta
A série diverge, pois as somas parciais vão a
.