Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
sn=sum (-1)^n(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)!. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries, em particular teste da razão para avaliar convergência absoluta.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão às parcelas absolutas an=1(2n+1)!. Calculamos a razão entre termos consecutivos:
limntoinfty an+1an = limntoinfty 1/(2(n+1)+1)!1/(2n+1)! = limntoinfty (2n+1)!(2n+3)! = limntoinfty 1(2n+2)(2n+3) = 0

Passo 3

Como o limite da razão é 0<1, a série converge absolutamente.
Séries absolutamente convergentes também convergem (mesmo se forem alternantes). Portanto concluímos que a série original converge.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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