Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de linha $$
\oint_C (2x-3y),dx + (x+5y),dy
$
\oint_C (2x-3y),dx + (x+5y),dy
$
16x^2 + 25y^2 \le 400, \quad y \ge 0
$$no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre R.
Passo 2
Pela formulação do Teorema de Green, temos
$$
\oint_C P,dx + Q,dy = \iint_R \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) dA,
$$onde \\nP(x,y)=2x-3y\ e \\nQ(x,y)=x+5y\.
\oint_C P,dx + Q,dy = \iint_R \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) dA,
$$onde \\nP(x,y)=2x-3y\ e \\nQ(x,y)=x+5y\.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais: \
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+5y)=1,\ \
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x-3y)=-3.
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+5y)=1,\ \
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x-3y)=-3.
\]Logo, o integrando fica $$
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-3) = 4.
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-3) = 4.
$$
Passo 4
A região R é uma semielipse pois $$
16x^2 + 25y^2 = 400 \iff \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1
$
16x^2 + 25y^2 = 400 \iff \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1
$
\pi a b = 20\pi
$
10\pi.
$$
10\pi.
$$
Passo 5
Como o integrando é constante igual a 4, a integral de linha vale
$$
\oint_C P,dx + Q,dy = \iint_R 4,dA = 4 \times \bigl(área deR\bigr) = 4 \times 10\pi = 40\pi.
$$
\oint_C P,dx + Q,dy = \iint_R 4,dA = 4 \times \bigl(área deR\bigr) = 4 \times 10\pi = 40\pi.
$$
Resposta
40\pi