Obtenha uma representação da forma g(x, y) ou g(x, y, z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u=c t e e v=c t e) das superfícies e vetores N=ru times rv normais a elas.
Elipsóide r(u, v)=[2 cos v cos u, 3 cos v sen u, 4 sen v]

Passo 1

Temos um elipsóide dado pela parametrização vec r(u,v)=l[2cos vcos u,;3cos vsin u,;4sin vr]. Precisamos obter a forma implícita g(x,y,z)=0, descrever as curvas para u=cte e v=cte e calcular o vetor normal vec N=vec rutimesvec rv.

Passo 2

Para encontrar a equação implícita, note que
x=2cos vcos u, y=3cos vsin u, z=4sin v
Daí cos v=raiz1-sin^2v=raiz1-(z/4)^2 e
x^24cos^2v+y^29cos^2v=cos^2u+sin^2u=1
Multiplicando por cos^2v e substituindo cos^2v=1-z^2/16 resulta
x^24+y^29+z^216=1,
o que leva à função
$$g(x,y,z)=\frac{x2}{4}+\frac{y2}{9}+\frac{z^2}{16}-1=0.
$$

Passo 3

As curvas de nível paramétricas são:
  • Para u=u0 fixo:
    vec r(u0,v)=l[2cos vcos u0,;3cos vsin u0,;4sin vr], uma elipse num plano que contém o eixo z.
  • Para v=v0 fixo:
    vec r(u,v0)=l[2cos v0cos u,;3cos v0sin u,;4sin v0r], uma elipse horizontal de altura z=4sin v0.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais
vec ru=[-2cos vsin u,;3cos vcos u,;0],
vec rv=[-2sin vcos u,;-3sin vsin u,;4cos v]
O vetor normal é o produto vetorial
vec N=vec rutimesvec rv = i & j & k -2cos vsin u & 3cos vcos u & 0 -2sin vcos u & -3sin vsin u & 4cos v =l(12cos^2vcos u,;8cos^2vsin u,;6cos vsin vr)

Resposta

A forma implícita do elipsóide é
g(x,y,z)=\frac{x2}{4}+\frac{y2}{9}+\frac{z^2}{16}-1=0.
Curvas paramétricas:
• u=cte: vec r(u0,v)=[2cos vcos u0,3cos vsin u0,4sin v].
• v=cte: vec r(u,v0)=[2cos v0cos u,3cos v0sin u,4sin v0].
Vetor normal:
vec N=vec rutimesvec rv=(12cos^2vcos u,,8cos^2vsin u,,6cos vsin v).

Exercícios relacionados