Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série infinita cujos termos gerais são dados por
. O conteúdo aqui é séries infinitas e, mais especificamente, séries geométricas. Vamos usar o critério de convergência de séries geométricas para decidir se ela converge ou diverge.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral de forma a evidenciar a razão da série:
Passo 3
Observamos que essa é uma série geométrica de primeira parcela
e de razão
.
Passo 4
O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se, e somente se,
. Aqui
, logo a série converge. Além disso, a soma é dada por
.
Resposta
A série converge, e seu valor soma é
.