Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
sn=sum 2^n+15^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série infinita cujos termos gerais são dados por an = 2^n+15^n. O conteúdo aqui é séries infinitas e, mais especificamente, séries geométricas. Vamos usar o critério de convergência de séries geométricas para decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma a evidenciar a razão da série:
an = 2^n+15^n = 2 cdot 2^n5^n = 2 gl(25gr)^n

Passo 3

Observamos que essa é uma série geométrica de primeira parcela a = 2(2/5)^0 = 2 e de razão r = tfrac25.

Passo 4

O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui |r| = tfrac25 < 1, logo a série converge. Além disso, a soma é dada por S = tfraca1-r = tfrac21-2/5 = tfrac23/5 = tfrac103.

Resposta

A série converge, e seu valor soma é 103.

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