Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
é o semidisco
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
∮_C P dx + Q dy ao longo da curva C que é o contorno anti-horário da região R, onde
P(x,y)=e^x cos y e Q(x,y)=-e^x sen y. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que diz:
∮_C P dx + Q dy ao longo da curva C que é o contorno anti-horário da região R, onde
P(x,y)=e^x cos y e Q(x,y)=-e^x sen y. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que diz:
∮_C P dx + Q dy = ∬_R (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA.
Passo 2
Precisamos calcular as derivadas parciais:
∂Q/∂x = ∂/∂x
(-e^x sen y) = -e^x sen y
∂P/∂y = ∂/∂y
(e^x cos y) = e^x (-sen y) = -e^x sen y
(-e^x sen y) = -e^x sen y
∂P/∂y = ∂/∂y
(e^x cos y) = e^x (-sen y) = -e^x sen y
Passo 3
Subtraindo, temos:
∂Q/∂x - ∂P/∂y = (-e^x sen y) - (-e^x sen y) = 0
Passo 4
Como o integrando é zero em toda a região R, a integral dupla é
∬_R 0 dA = 0
Logo, pela Teorema de Green, a integral de linha também vale zero.
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