Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
. Esboce
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de linha
seguindo sentido anti-horário em torno da fronteira de
, usando o teorema de Green. Temos
, e a região é definida por
. Vamos precisar de
e
para formar o integrando.
Passo 2
A região
fica entre a reta
(abaixo) e a parábola
(acima). Como a interseção ocorre em
, temos
ou
. Logo, nos eixos:
Passo 3
Pelo teorema de Green,
Passo 4
Calculamos
Passo 5
Substituindo nos limites de
:
Passo 6
Primeiro integramos em
:
que simplifica para
Passo 7
Agora integramos em
de
a
:
Resposta
-\tfrac{56}{15}