Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
R. Esboce .

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy seguindo sentido anti-horário em torno da fronteira de R, usando o teorema de Green. Temos vec F=(P,Q)=(x^2+y^2,,x^2-y^2), e a região é definida por 1<= y<= 2-x^2. Vamos precisar de partial Q/partial x e partial P/partial y para formar o integrando.

Passo 2

A região R fica entre a reta y=1 (abaixo) e a parábola y=2-x^2 (acima). Como a interseção ocorre em 2-x^2=1, temos x^2=1 ou xin[-1,1]. Logo, nos eixos:
xin[-1,1], yin[1,,2-x^2]

Passo 3

Pelo teorema de Green,
ointC P,dx+Q,dy=integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 4

Calculamos
partial Qpartial x=2x, partial Ppartial y=2yLongrightarrow partial Qpartial x-partial Ppartial y=2x-2y

Passo 5

Substituindo nos limites de R:
integral duplaR(2x-2y)dA=integralx=-1^1integraly=1^2-x^2(2x-2y),dy,dx

Passo 6

Primeiro integramos em y:
integral1^2-x^2(2x-2y),dy=2x(2-x^2-1)-l[(2-x^2)^2-1r]
que simplifica para
-x^4-2x^3+4x^2+2x-3

Passo 7

Agora integramos em x de -1 a 1:
integral-1^1(-x^4-2x^3+4x^2+2x-3),dx=-5615

Resposta

-\tfrac{56}{15}

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