Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
sn=sum n^32^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty n^32^n. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e vamos precisar usar o teste da razão (teste de D’Alembert).

Passo 2

O teste da razão diz que, para a sequência de termos an = n^32^n, devemos calcular o limite
L = limntoinfty |an+1an|
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular o quociente entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^32^n+1n^32^n = (n+1)^32^n+1 cdot 2^nn^3 = (n+1)^32,n^3 = l(1 + 1nr)^32

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty l(1 + 1nr)^32 = 1^32 = 12
Como L = tfrac12 < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 5

Portanto, a série sumn=1^infty n^32^n converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pois o teste da razão dá limite igual a tfrac12<1.

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