Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
(m) sn=sum raiznn^2+1

Passo 1

O exercício pede para decidir se a série sumn=1^infty raiznn^2+1 converge ou diverge. O tema aqui é séries numéricas e vamos usar testes de convergência, em especial comparação com p-séries.

Passo 2

Para analisar o termo geral, note que para n grande temos n^2+1approx n^2. Assim
raiznn^2+1simraiznn^2=1n^3/2
Lembrando que a p-série sum1/n^p converge se p>1, podemos fazer comparação direta:
$$
n^2+1\ge n^2\implies 0\le\frac{\sqrt{n}}{n2+1}\le\frac{\sqrt{n}}{n2}=\frac{1}{n^{3/2}}.$$
Como n^2+1>= n^2implies 0<=raiznn^2+1<=raiznn^2=1n^3/2 converge (p=3/2>1), pela comparação a série original também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a p-série de parâmetro p=3/2>1.

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