Encontre a oscilacão de regime permanente de
com
e
conforme dada.
Passo 1
O enunciado diz respeito à equação de um oscilador amortecido forçado:
Temos
com amortecimento
e força externa
Queremos encontrar a oscilação em regime permanente (isto é, a solução particular que persiste após o decaimento dos transientes).
Passo 2
Por linearidade, podemos calcular a solução particular de cada termo
separadamente e depois somar. Denotemos por
a resposta ao forçamento
.
Passo 3
Usamos método de coeficientes indeterminados: proponha
Então
Passo 4
Substituindo em
e coletando
e
obtemos o sistema
Passo 5
Resolvendo esse sistema, encontra-se
$$D_n = -\frac{b_n,c n}{(1-n2)2 + (c n)^2}.
$$
Passo 6
Podemos então escrever cada
numa forma de seno com fase:
A amplitude
e o desfasamento
$$\varphi_n = \arctan\biggl(\frac{c n}{1-n^2}\biggr).
$$
Logo
$$y_n(t)=R_n\sin\bigl(n t - \varphi_n\bigr).
$$
Passo 7
Somando todas as harmônicas, a oscilação em regime permanente é
com
e
dados acima.