Encontre a oscilacão de regime permanente de y^prime prime+c y^prime+y=r(t) com c>0 e r(t) conforme dada.
r(t)=sumn=1^N bn sen n t

Passo 1

O enunciado diz respeito à equação de um oscilador amortecido forçado:
Temos
y'' + c,y' + y = r(t),
com amortecimento c>0 e força externa
r(t)=sumn=1^N bn,sin(nt)
Queremos encontrar a oscilação em regime permanente (isto é, a solução particular que persiste após o decaimento dos transientes).

Passo 2

Por linearidade, podemos calcular a solução particular de cada termo bnsin(nt) separadamente e depois somar. Denotemos por yn(t) a resposta ao forçamento rn(t)=bnsin(nt).

Passo 3

Usamos método de coeficientes indeterminados: proponha
yn(t)=Ansin(nt)+Dncos(nt)
Então
yn' = An ncos(nt) - Dn nsin(nt),
yn'' = -An n^2sin(nt) - Dn n^2cos(nt)

Passo 4

Substituindo em y''+c y'+y=rn e coletando sin(nt) e cos(nt) obtemos o sistema
An(1-n^2)-c n Dn = bn, Dn(1-n^2)+c n An = 0

Passo 5

Resolvendo esse sistema, encontra-se
An = bn,(1-n^2)(1-n^2)^2 + (c n)^2,
$$D_n = -\frac{b_n,c n}{(1-n2)2 + (c n)^2}.
$$

Passo 6

Podemos então escrever cada yn(t) numa forma de seno com fase:
A amplitude
Rn = bnraiz(1-n^2)^2 + (c n)^2,
e o desfasamento
$$\varphi_n = \arctan\biggl(\frac{c n}{1-n^2}\biggr).
$$
Logo
$$y_n(t)=R_n\sin\bigl(n t - \varphi_n\bigr).
$$

Passo 7

Somando todas as harmônicas, a oscilação em regime permanente é
yreg(t)=sumn=1^N Rn,sinl(n t - varphinr),
com Rn e varphin dados acima.

Resposta

yreg(t)=sumn=1^N bnraiz(1-n^2)^2 + (c n)^2,sinl(n t - arctantfracc n1-n^2r)

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