Encontre a oscilacão de regime permanente de y^prime prime+c y^prime+y=r(t) com c>0 e r(t) conforme dada.
$r(t)=\left{ r(t)=rlcpi t & se & -pi / 2\right.) er

Passo 1

A equação homogênea associada é y''+c,y'+y=0, que tem solução que decai quando c>0. No regime permanente só sobrevive a parte particular periódica de mesma frequência da força r(t). Para encontrar essa parte periódica vamos usar séries de Fourier.

Passo 2

Como r(t) é função de período 2pi e é ímpar (verificando que r(-t)=-r(t)), sua série de Fourier só tem termos em seno:
Sabe-se que
r(t)=sumn=1^inftybn,sin(nt),
com
bn=2piintegral0^pir(t)sin(nt),dt
Note que o termo de média a0 é zero por simetria ímpar.

Passo 3

Para cada harmônico bnsin(nt) a resposta particular da equação
y''+c,y'+y=bnsin(nt)
é da forma
yn(t)=Ancos(nt)+Bnsin(nt),
onde aplicando o método dos coeficientes indeterminados chega-se a
An=bn,c,n(1-n^2)^2+c^2n^2, Bn=bn,(1-n^2)(1-n^2)^2+c^2n^2

Passo 4

Somando todos os harmônicos obtemos a oscilação de regime permanente
yss(t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)
Em forma fasorial essa soma pode ser escrita também como
yss(t)=sumn=1^inftybnraiz(1-n^2)^2+c^2n^2,sinl(nt+varphinr),
com
varphin=arctanl(c,n1-n^2r)

Resposta

A oscilação de regime permanente é
yss(t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r),

An=bn,c,n(1-n^2)^2+c^2n^2, Bn=bn,(1-n^2)(1-n^2)^2+c^2n^2,
com
bn=2piintegral0^pir(t)sin(nt),dte r(t+2pi)=r(t)

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