Diga se os sistemas abaixo tem única, infinitas ou nenhuma solução analizando os postos de suas matrizes. Então resolva-os, se for o caso.
(d) 3 x+2 y-z & =-15 5 x+3 y+2 z & =0 3 x+y+3 z & =11 11 x+7 y & =-30

Passo 1

Temos o sistema
3x+2y - z = -15, 5x+3y +2z = 0, 3x+ y +3z = 11, 11x+7y = -30,
com 4 equações e 3 incógnitas (x,y,z). Para saber se há solução única, infinitas ou nenhuma, usamos o posto da matriz de coeficientes A e da matriz aumentada tilde A.
  • Se rank(A)=rank(tilde A)=3 (número de incógnitas), há solução única.
  • Se rank(A)=rank(tilde A)<3, há infinitas soluções.
  • Se rank(A)<rank(tilde A), não há solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid br] e aplicamos operações de linha:
3 & 2 & -1 & lvert & -15 5 & 3 & 2 & lvert & ,0 3 & 1 & 3 & lvert & 11 11& 7 & 0 & lvert & -30 ;xrightarrow,R2>=ts R2-R1,;R3>=ts R3-R1,;R4>=ts R4-3R1,; 3 & 2 & -1 & lvert & -15 2 & 1 & 3 & lvert & 15 0 & -1& 4 & lvert & 26 2 & 1 & 3 & lvert & 15
xrightarrow,R4>=ts R4-R2,; 3 & 2 & -1 & lvert & -15 2 & 1 & 3 & lvert & 15 0 & -1& 4 & lvert & 26 0 & 0 & 0 & lvert & 0
Ficaram 3 linhas não nulas, logo
rank(A)=rank(tilde A)=3

Passo 3

Como o posto é igual ao número de incógnitas, o sistema tem solução única. Do sistema triangular:
3x+2y - z = -15, 2x+ y +3z = 15, -,y +4z = 26,
da terceira equação ,y=4z-26. Substituindo na segunda:
2x+(4z-26)+3z=15 implies 2x+7z=41 implies x=41-7z2
Na primeira:
3l(tfrac41-7z2r)+2(4z-26)-z=-15 implies -7z=-49 implies z=7,
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y=4cdot7-26=2, x=41-7cdot72=41-492=-4

Resposta

O sistema tem solução única e
(x,y,z)=(-4,2,7)

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