Encontre um polinômio p(x)=a3 x^3+a2 x^2+a1 x+a0 que passe pelos pontos (-2,24), (-1,24),(1,60) e (2,12).

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau 3
p(x)=a3x^3+a2x^2+a1x+a0
que passe pelos pontos (-2,24), (-1,24), (1,60) e (2,12).
O conteúdo é interpolação via sistema linear: cada ponto gera uma equação em a3,a2,a1,a0, totalizando 4 equações para determinar as 4 incógnitas.

Passo 2

Montamos as equações substituindo cada ponto em p(x):
-8a3+4a2-2a1+a0=24,
-,a3+a2-a1+a0=24,
;a3+a2+a1+a0=60,
8a3+4a2+2a1+a0=12

Passo 3

Para eliminar a2 e a0, subtraímos a segunda equação da terceira e a primeira da quarta:
(3ª) - (2ª):2a3+2a1=60-24=36 ;Longrightarrow;a3+a1=18, ªª
(4ª) - (1ª):16a3+4a1=12-24=-12 ;Longrightarrow;4a3+a1=-3 ªª

Passo 4

Resolvendo o sistema
a3+a1=18, 4a3+a1=-3,
subtraindo a primeira da segunda vem
3a3=-21Longrightarrow a3=-7,
e então
a1=18-(-7)=25

Passo 5

Agora usamos duas das equações originais para achar a2 e a0. Por exemplo, a terceira:
a3+a2+a1+a0=60 ;Longrightarrow;-7+a2+25+a0=60 ;Longrightarrow;a2+a0=42,
e a primeira:
-8a3+4a2-2a1+a0=24 ;Longrightarrow;56+4a2-50+a0=24 ;Longrightarrow;4a2+a0=18

Passo 6

Resolvendo
a2+a0=42, 4a2+a0=18,
subtraindo a primeira da segunda:
3a2=-24Longrightarrow a2=-8,
e
a0=42-(-8)=50

Resposta

O polinômio procurado é
boxedp(x)=-7x^3-8x^2+25x+50

Exercícios relacionados