Diga qual o supremo e o ínfimo da função abaixo.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
O que se pede: determinar o supremo e o ínfimo do conjunto imagem \{f(x):x\in\mathbb{R}\}. Ou seja, encontrar o maior limite superior e o menor limite inferior dos valores que f assume quando x varia por toda a reta.

Passo 2

Vamos lembrar direitinho o que querem dizer supremo e ínfimo, com linguagem simples.
  • Um número U é uma cota superior do conjunto \{f(x):x\in\mathbb{R}\} se, para todo x\in\mathbb{R}, vale f(x)\le U. O supremo é a menor entre todas as cotas superiores: é a “menor barreira” que ainda fica acima de todos os valores de f.
  • Um número L é uma cota inferior do conjunto se, para todo x\in\mathbb{R}, vale f(x)\ge L. O ínfimo é a maior entre todas as cotas inferiores: a “maior barreira” que ainda fica abaixo de todos os valores de f.
    Para mostrar que um número é supremo/ínfimo normalmente fazemos duas coisas: (i) mostramos que é uma cota (superior ou inferior) e (ii) mostramos que não existe cota melhor (menor, no caso do supremo; maior, no caso do ínfimo). Vou aplicar isso ao caso concreto.

Passo 3

Mostrando uma cota superior e que ela é a melhor possível.
Observe que, para todo x\in\mathbb{R}, tem-se x^{2}\ge 0. Assim
1+x^{2}\ge 1.
Como o denominador é pelo menos 1, \dfrac{1}{1+x^{2}} é no máximo 1. Em forma matemática:
0<\frac{1}{1+x^{2}}\le 1\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto 1 é uma cota superior do conjunto imagem.
Além disso, essa cota superior é atingida: em x=0 a função vale exatamente
f(0)=\frac{1}{1+0^{2}}=1.
Como existe um x com f(x)=1, não há nenhuma cota superior menor que 1 que ainda seja maior ou igual a todos os f(x). Isso mostra que a menor cota superior é 1.

Passo 4

Mostrando uma cota inferior e que ela é a melhor possível.
Pela expressão da função, o denominador 1+x^{2} é sempre positivo, logo para todo x
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}>0.
Assim 0 é uma cota inferior do conjunto imagem.
Para ver que não existe uma cota inferior maior que 0, usamos que os valores de f podem ficar arbitrariamente próximos de 0 quando |x| é grande. Calcule o limite:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+x^{2}}=0.
Uma forma elementar de ver isso é dividir numerador e denominador por x^{2} (ou notar que 1+x^{2}\to\infty, então a fração tende a 0). Mais formalmente, para qualquer \varepsilon>0 podemos escolher X tal que X>\sqrt{\tfrac{1}{\varepsilon}-1}; para esse X vale
\frac{1}{1+X^{2}}<\varepsilon.
Isto mostra que existem valores de f(x) menores que qualquer número positivo fixo, logo nenhuma cota inferior estritamente positiva pode ser cota inferior do conjunto. Assim a maior cota inferior possível é 0.
Note também que 0 não é valor assumido pela função (não existe x com f(x)=0), porque f(x)>0 para todo x. Então 0 é ínfimo mas não é mínimo.

Passo 5

Expliquei acima por desigualdade e por limite; agora uma verificação rápida por derivada para intuir o comportamento da função (opcional, mas útil para prova):
Calcule a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)=-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Daí f'(x)<0 para x>0 e f'(x)>0 para x<0. Ou seja, f cresce em (-\infty,0) e decresce em (0,\infty), o que mostra que x=0 é um máximo global único. Esse máximo é f(0)=1. Para x\to\pm\infty a função decresce até 0 (sem nunca tocar 0), confirmando o que usamos no Passo 4.

Resposta

\displaystyle \sup f(\mathbb{R})=1
\displaystyle \inf f(\mathbb{R})=0

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