Diga qual o supremo e o ínfimo da função abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: determinar o supremo e o ínfimo do conjunto imagem
. Ou seja, encontrar o maior limite superior e o menor limite inferior dos valores que
assume quando
varia por toda a reta.
Passo 2
Vamos lembrar direitinho o que querem dizer supremo e ínfimo, com linguagem simples.
- Um número
é uma cota superior do conjunto se, para todo , vale . O supremo é a menor entre todas as cotas superiores: é a “menor barreira” que ainda fica acima de todos os valores de . - Um número
é uma cota inferior do conjunto se, para todo , vale . O ínfimo é a maior entre todas as cotas inferiores: a “maior barreira” que ainda fica abaixo de todos os valores de .
Para mostrar que um número é supremo/ínfimo normalmente fazemos duas coisas: (i) mostramos que é uma cota (superior ou inferior) e (ii) mostramos que não existe cota melhor (menor, no caso do supremo; maior, no caso do ínfimo). Vou aplicar isso ao caso concreto.
Passo 3
Mostrando uma cota superior e que ela é a melhor possível.
Observe que, para todo
, tem-se
. Assim
Como o denominador é pelo menos
,
é no máximo
. Em forma matemática:
Portanto
é uma cota superior do conjunto imagem.
Além disso, essa cota superior é atingida: em
a função vale exatamente
Como existe um
com
, não há nenhuma cota superior menor que
que ainda seja maior ou igual a todos os
. Isso mostra que a menor cota superior é
.
Passo 4
Mostrando uma cota inferior e que ela é a melhor possível.
Pela expressão da função, o denominador
é sempre positivo, logo para todo
Assim
é uma cota inferior do conjunto imagem.
Para ver que não existe uma cota inferior maior que
, usamos que os valores de
podem ficar arbitrariamente próximos de
quando
é grande. Calcule o limite:
Uma forma elementar de ver isso é dividir numerador e denominador por
(ou notar que
, então a fração tende a
). Mais formalmente, para qualquer
podemos escolher
tal que
; para esse
vale
Isto mostra que existem valores de
menores que qualquer número positivo fixo, logo nenhuma cota inferior estritamente positiva pode ser cota inferior do conjunto. Assim a maior cota inferior possível é
.
Note também que
não é valor assumido pela função (não existe
com
), porque
para todo
. Então
é ínfimo mas não é mínimo.
Passo 5
Expliquei acima por desigualdade e por limite; agora uma verificação rápida por derivada para intuir o comportamento da função (opcional, mas útil para prova):
Calcule a derivada:
Daí
para
e
para
. Ou seja,
cresce em
e decresce em
, o que mostra que
é um máximo global único. Esse máximo é
. Para
a função decresce até
(sem nunca tocar
), confirmando o que usamos no Passo 4.