Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de um sistema homogêneo de primeira ordem. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares, e para resolver esse tipo de sistema, precisamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores (também conhecidos como valores próprios) e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial:
Onde
é a matriz dos coeficientes dada por:
Passo 3
Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem 2.
Passo 4
Vamos calcular
:
A determinante dessa matriz é:
Passo 5
Expandindo a expressão:
Então, a equação característica fica:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Passo 7
Agora que temos os autovalores complexos
, sabemos que a solução geral do sistema será da forma:
Onde
,
, e
é o autovetor correspondente.
Passo 8
Vamos encontrar o autovetor
correspondente a
.
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
, então
.
Passo 9
Substituindo tudo na solução geral:
Isso simplifica para:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.