Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
(a) X' = (-1/2 1; -1 -1/2) X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de um sistema homogêneo de primeira ordem. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares, e para resolver esse tipo de sistema, precisamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores (também conhecidos como valores próprios) e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial:
Onde é a matriz dos coeficientes dada por:

Passo 3

Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 4

Vamos calcular :
A determinante dessa matriz é:

Passo 5

Expandindo a expressão:
Então, a equação característica fica:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :

Passo 7

Agora que temos os autovalores complexos , sabemos que a solução geral do sistema será da forma:
Onde , , e é o autovetor correspondente.

Passo 8

Vamos encontrar o autovetor correspondente a .
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Podemos escolher , então .

Passo 9

Substituindo tudo na solução geral:
Isso simplifica para:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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