A dimensão do espaço de matrizes
W=\left\{X \in \mathcal{M}(3,3) ; X^{t}=-X\right\}
é igual a:
а) 0 ;
b) 1 ;
c) 3 ;
d) 6 ;
e) 9 .

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
W = \{X \in \mathcal{M}(3,3)\mid X^t = -X\},
ou seja, as matrizes 3\times3 antissimétricas. Vamos usar conceitos de álgebra linear para contar seus graus de liberdade.

Passo 2

A condição X^t = -X impõe para todos os índices i,j:
X_{ii} = -X_{ii}\implies X_{ii}=0
e
X_{ij} = -X_{ji}.
Isso significa que os únicos elementos independentes são os que estão estritamente acima da diagonal, pois cada um determina seu par abaixo da diagonal.

Passo 3

O número de posições estritamente acima da diagonal em uma matriz 3\times3 é
\frac{3\,(3-1)}{2}=3.
Portanto, há exatamente 3 graus de liberdade e
\dim(W)=3.

Resposta

c) 3

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