Seja M_{2 \times 3} o espaço vetorial das matrizes 2 \times 3. Verifique se \{A, B, C\} é LI ou LD em M_{2 \times 3}, onde A=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 1 \\\\ 3 & -2 & 4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 2 \\\\ -2 & 1 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{lll}-1 & 0 & 5 \\\\ -1 & 0 & 3\end{array}\right).

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos em M_{2\times3} e queremos verificar se o conjunto \{A,B,C\} é linearmente independente ou dependente. Pelo conceito, basta analisar a combinação
\alpha A + \beta B + \gamma C = 0
e ver se a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevendo essa combinação em cada entrada, temos
\alpha \begin{pmatrix}-1 & 2 & 1 \\\\ 3 & -2 & 4\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0 & -1 & 2 \\\\ -2 & 1 & 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}-1 & 0 & 5 \\\\ -1 & 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Denotando x=\alpha, y=\beta e z=\gamma, isso gera o sistema de seis equações escalares:]

Passo 3

\begin{cases} -x \;+\;0\;-\;z = 0,\\[4pt] 2x \;-\;y\;+\;0 = 0,\\[4pt] x \;+\;2y\;+\;5z = 0,\\[4pt] 3x \;-\;2y\;-\;z = 0,\\[4pt] -2x\;+\;y\;+\;0 = 0,\\[4pt] 4x\;+\;0\;+\;3z = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações tiramos
x = -z, \quad y = 2x.]

Passo 4

Substituindo x=-z e y=2x nas restantes, verificamos:
  • Na equação x+2y+5z:
-z + 2(-2z) +5z = -z -4z +5z = 0.
  • Na equação 3x-2y-z:
3(-z) -2(-2z) -z = -3z +4z -z = 0.
  • Na última 4x+3z:
4(-z)+3z = -4z+3z = -z = 0 \implies z=0.
Logo z=0\Rightarrow x=-z=0 e y=2x=0. Só há solução trivial.

Resposta

O conjunto \{A,B,C\} é linearmente independente em M_{2\times3}.

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