EXTRAS.
- (Espaço vetorial com operações não usuais - Steinbruch, p.22)
conjunto
com as operações de adição “
” e multiplicação por escalar “
” não-usuais:
é um espaço vetorial sobre
. Responda:
a) Qual é o elemento neutro da adição
em
?
b) Dado um vetor
, qual é o seu simétrico em relação a adição
?
c) Determine uma base e a dimensão de
.
a) Qual é o elemento neutro da adição
b) Dado um vetor
c) Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
com
com
e pede:
a) o elemento neutro de ;
b) o simétrico aditivo de ;
c) uma base e a dimensão de .
a) o elemento neutro de
b) o simétrico aditivo de
c) uma base e a dimensão de
Passo 2
Para achar o neutro
de
precisamos de
Pela definição de
, isso dá
logo
e
. A primeira condição força
. Assim
Passo 3
O simétrico de
é
tal que
Isto é,
logo
. Daí
e
Portanto o inverso aditivo de
é
.
Passo 4
Note que o mapeamento
é isomorfismo de espaços vetoriais (preserva soma e escalar). Logo
é isomorfo a
e tem dimensão 1. Basta qualquer vetor não-nulo para base. Escolhendo
temos
logo
é base e
Resposta
a)
b)
c) uma base é e
b)
c) uma base é