EXTRAS.

  1. (Espaço vetorial com operações não usuais - Steinbruch, p.22) O conjunto V=\left\{\left(x, x^{2}\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} com as operações de adição “ \oplus” e multiplicação por escalar “ \odot” não-usuais:
\begin{aligned} \left(x_{1}, x_{1}{ }^{2}\right) \oplus\left(x_{2}, x_{2}{ }^{2}\right) & =\left(x_{1}+x_{2},\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}\right) \\\ \alpha \odot\left(x, x^{2}\right) & =\left(\alpha x, \alpha^{2} x^{2}\right) \end{aligned}
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Responda:
a) Qual é o elemento neutro da adição \oplus em V ?
b) Dado um vetor v=\left(c, c^{2}\right) \in V, qual é o seu simétrico em relação a adição \oplus ?
c) Determine uma base e a dimensão de V.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle V=\{(x,x^2)\mid x\in\mathbb{R}\}
com
(x_1,x_1^2)\oplus(x_2,x_2^2)=(x_1+x_2,(x_1+x_2)^2),
\alpha\odot(x,x^2)=(\alpha x,\alpha^2x^2),
e pede:
a) o elemento neutro de \oplus;
b) o simétrico aditivo de v=(c,c^2);
c) uma base e a dimensão de V.

Passo 2

Para achar o neutro \mathbf{0}_V de \oplus precisamos de
(x,x^2)\oplus(a,a^2)=(x,x^2) \quad\forall\,x\in\mathbb{R}.
Pela definição de \oplus, isso dá
(x+a,(x+a)^2)=(x,x^2),
logo x+a=x e (x+a)^2=x^2. A primeira condição força a=0. Assim
\mathbf{0}_V=(0,0^2)=(0,0).

Passo 3

O simétrico de v=(c,c^2) é w=(d,d^2) tal que
(c,c^2)\oplus(d,d^2)=\mathbf{0}_V=(0,0).
Isto é,
(c+d,(c+d)^2)=(0,0),
logo c+d=0. Daí d=-c e
w=(-c,(-c)^2)=(-c,c^2).
Portanto o inverso aditivo de (c,c^2) é (\\ -c,c^2).

Passo 4

Note que o mapeamento
T\colon V\to\mathbb{R},\quad T((x,x^2))=x
é isomorfismo de espaços vetoriais (preserva soma e escalar). Logo V é isomorfo a \mathbb{R} e tem dimensão 1. Basta qualquer vetor não-nulo para base. Escolhendo
b=(1,1^2)=(1,1),
temos
V=\{\,\alpha\odot b\mid \alpha\in\mathbb{R}\},
logo \{(1,1)\} é base e
\dim V=1.

Resposta

a) (0,0)
b) (-c,c^2)
c) uma base é \{(1,1)\} e \dim V=1

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