1. Dimensão de Subespaços: Sejam U e W subespaços de \mathbb{R}^{4} com \operatorname{dim} U=3 e \operatorname{dim} W=2. Quais são as dimensões possíveis para U \cap W ? Demonstre sua resposta.

Passo 1

O enunciado considera dois subespaços U e W de \mathbb{R}^4 com
\dim U = 3 e \dim W = 2. Queremos determinar todos os valores possíveis para
\dim(U\cap W).

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Grassmann para subespaços:
\dim(U + W) \;=\;\dim U \;+\;\dim W \;-\;\dim(U\cap W).
Aqui U+W é também um subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Como U+W\subseteq\mathbb{R}^4, vale
\dim(U+W)\;\le\;4.
Além disso, sempre temos \dim(U+W)\ge\max\{\dim U,\dim W\}=\max\{3,2\}=3.
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\dim(U+W)\in\{3,4\}.

Passo 4

Da fórmula de Grassmann,
\dim(U\cap W) =\dim U + \dim W - \dim(U+W) =3 + 2 - \dim(U+W).
Se \dim(U+W)=3, então
\dim(U\cap W)=3+2-3=2.
Se \dim(U+W)=4, então
\dim(U\cap W)=3+2-4=1.

Resposta

As dimensões possíveis para U\cap W são \,1 e 2.

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