1. Espaço de Matrizes: Mostre que o conjunto
    S=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}
    é uma base para o subespaço das matrizes simétricas 2 \times 2 em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Qual é a dimensão desse subespaço?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S=\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}
é uma base do subespaço das matrizes simétricas 2\times2 em M_{2\times2}(\mathbb{R}), e determinar a dimensão desse subespaço. Vamos usar conceitos de espaço vetorial: mostrar que S gera o subespaço (spanning) e que seus vetores são linearmente independentes. A dimensão será então o número de vetores dessa base.

Passo 2

Mostramos que S gera o subespaço. Seja
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix}
uma matriz simétrica qualquer. Podemos escrever
A = a\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso prova que qualquer matriz simétrica 2\times2 é combinação linear dos três elementos de S, ou seja, \mathrm{Span}(S) é todo o subespaço.

Passo 3

Agora verificamos a independência linear. Suponha
\alpha\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Da igualdade de matrizes obtemos, por cada posição:
(1,1):\;\alpha=0,\quad (1,2):\;\beta=0,\quad (2,1):\;\beta=0,\quad (2,2):\;\gamma=0.
Logo \alpha=\beta=\gamma=0, mostrando que não há combinação não trivial que dê a matriz nula. Assim os vetores de S são linearmente independentes.

Passo 4

Como S gera o subespaço e é linearmente independente, concluímos que S é uma base. A base tem exatamente 3 elementos, então a dimensão do subespaço das matrizes simétricas 2\times2 é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço das matrizes simétricas 2\times 2 é 3.

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