Espaço de Matrizes: Mostre que o conjunto S=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}
é uma base para o subespaço das matrizes simétricas 2 \times 2 em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Qual é a dimensão desse subespaço?
é uma base do subespaço das matrizes simétricas 2\times2 em M_{2\times2}(\mathbb{R}), e determinar a dimensão desse subespaço. Vamos usar conceitos de espaço vetorial: mostrar que S gera o subespaço (spanning) e que seus vetores são linearmente independentes. A dimensão será então o número de vetores dessa base.
Logo \alpha=\beta=\gamma=0, mostrando que não há combinação não trivial que dê a matriz nula. Assim os vetores de S são linearmente independentes.
Passo 4
Como S gera o subespaço e é linearmente independente, concluímos que S é uma base. A base tem exatamente 3 elementos, então a dimensão do subespaço das matrizes simétricas 2\times2 é 3.
Resposta
A dimensão do subespaço das matrizes simétricas 2\times 2 é 3.