Inverta as seguintes matrizes ou justifique por que são singulares.
(d) \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) (forneça condições para invertibilidade)
Passo 1
O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
ou justificar por que ela é singular. O conteúdo aqui é o conceito de determinante e a construção da matriz adjunta para obter a inversa.
Passo 2
Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, seu determinante \det(A) for diferente de zero. Caso \det(A)=0, dizemos que A é singular e não tem inversa.
Passo 3
Calculamos o determinante de A. Para uma matriz 2\times2, vale
\det(A) = ad - bc.
Passo 4
Se ad - bc \neq 0, a inversa é dada por 1. trocar a com d e 2. trocar o sinal de b e de c, 3. dividir tudo por \det(A)=ad-bc.
Isso é a construção da matriz adjunta dividida pelo determinante.
Resposta
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix}, \quad\text{se }ad - bc \neq 0.
Caso ad - bc = 0, \det(A)=0 e A é singular (não invertível).