Independência Linear: Prove que se \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} é linearmente independente em V, então \left\{\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{3}+\mathbf{v}_{1}\right\} também é.
Passo 1
O enunciado dá uma família \{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\} que é linearmente independente em V e pede para provar que a família transformada \{\mathbf v_1+\mathbf v_2,\;\mathbf v_2+\mathbf v_3,\;\mathbf v_3+\mathbf v_1\}
também é linearmente independente. O conteúdo matemático principal é o da definição de independência linear, que diz que uma combinação linear nula só ocorre com coeficientes todos zero.
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear que anule a soma dos vetores transformados, isto é, suponha escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
Resolvendo o sistema, de \alpha+\beta=0 segue \beta=-\alpha, e de \beta+\gamma=0 segue \gamma=-\beta=\alpha. Então a primeira equação \alpha+\gamma=0 fica \alpha+\alpha=2\alpha=0, o que dá \alpha=0. Logo \beta=0 e \gamma=0.
Passo 6
Só há a combinação trivial que anula a família transformada, ou seja, os únicos coeficientes que funcionam são \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto a família \{\mathbf v_1+\mathbf v_2,\;\mathbf v_2+\mathbf v_3,\;\mathbf v_3+\mathbf v_1\}
é linearmente independente.
Resposta
A família \{\mathbf v_1+\mathbf v_2,\;\mathbf v_2+\mathbf v_3,\;\mathbf v_3+\mathbf v_1\} é linearmente independente.