1. Independência Linear: Prove que se \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} é linearmente independente em V, então \left\{\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{3}+\mathbf{v}_{1}\right\} também é.

Passo 1

O enunciado dá uma família \{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\} que é linearmente independente em V e pede para provar que a família transformada
\{\mathbf v_1+\mathbf v_2,\;\mathbf v_2+\mathbf v_3,\;\mathbf v_3+\mathbf v_1\}
também é linearmente independente. O conteúdo matemático principal é o da definição de independência linear, que diz que uma combinação linear nula só ocorre com coeficientes todos zero.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear que anule a soma dos vetores transformados, isto é, suponha escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(\mathbf v_1+\mathbf v_2)+\beta(\mathbf v_2+\mathbf v_3)+\gamma(\mathbf v_3+\mathbf v_1)=\mathbf 0.

Passo 3

Vamos reescrever a soma coletando coeficientes de \mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3. Expandindo, temos
\alpha\,\mathbf v_1+\alpha\,\mathbf v_2 +\beta\,\mathbf v_2+\beta\,\mathbf v_3 +\gamma\,\mathbf v_3+\gamma\,\mathbf v_1 =(\alpha+\gamma)\mathbf v_1+(\alpha+\beta)\mathbf v_2+(\beta+\gamma)\mathbf v_3=\mathbf 0.

Passo 4

Como \{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\} é independente, cada coeficiente deve ser zero. Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha+\gamma=0,\\\ \alpha+\beta=0,\\\ \beta+\gamma=0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, de \alpha+\beta=0 segue \beta=-\alpha, e de \beta+\gamma=0 segue \gamma=-\beta=\alpha. Então a primeira equação \alpha+\gamma=0 fica \alpha+\alpha=2\alpha=0, o que dá \alpha=0. Logo \beta=0 e \gamma=0.

Passo 6

Só há a combinação trivial que anula a família transformada, ou seja, os únicos coeficientes que funcionam são \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto a família
\{\mathbf v_1+\mathbf v_2,\;\mathbf v_2+\mathbf v_3,\;\mathbf v_3+\mathbf v_1\}
é linearmente independente.

Resposta

A família \{\mathbf v_1+\mathbf v_2,\;\mathbf v_2+\mathbf v_3,\;\mathbf v_3+\mathbf v_1\} é linearmente independente.

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