Dimensionar uma adutora mista, em que um primeiro trecho será por recalque e o segundo trecho será por gravidade. Sabe-se que a adutora visa aduzir 100 \mathrm{l} / \mathrm{s}, o stand pipe apresenta NA =100,00 \mathrm{~m}. O ponto de chegada apresenta NA =60,0 \mathrm{~m}. O trecho em recalque tem 5.000 m de comprimento e o trecho em gravidade tem 10.000 m de comprimento. Considere tubos de PVC para o trecho de gravidade e tubos de ferro fundido para o trecho de recalque. Obs: adutora econômica.

Passo 1

O que o enunciado pede (em palavras claras): dimensionar a adutora mista, ou seja, determinar os diâmetros dos dois trechos (trecho em recalque — tubos de ferro fundido — e trecho em gravidade — tubos de PVC) que vão transportar a vazão solicitada, respeitando a condição “adutora econômica” indicada pelo enunciado.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente, sem assumir nada):
  • Vazão: \,Q=100\\ \mathrm{l/s}=0{,}100\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Nível do stand pipe (ponto de partida): \mathrm{NA_{montante}}=100{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Nível do ponto de chegada (boca, reservatório receptor): \mathrm{NA_{jusante}}=60{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do trecho em recalque: \,L_r=5{.}000\\ \mathrm{m} (material: ferro fundido).
  • Comprimento do trecho em gravidade: \,L_g=10{.}000\\ \mathrm{m} (material: PVC).
  • Materiais: recalque = ferro fundido; gravidade = PVC.
  • Observação do enunciado: “adutora econômica” (vou usar isso para adotar um critério prático de projeto; detalhes no próximo passo).
O enunciado não pede explicitamente potência de bomba nem alturas de sucção/descarga da bomba, apenas “dimensionar a adutora”. Vou, portanto, determinar os diâmetros práticos para cada trecho, calcular as velocidades correspondentes e verificar as perdas de carga para checar se a energia disponível por diferença de nível entre montante e jusante é suficiente (ou se é necessário bombeamento). Não há figura adicional fornecida.

Passo 2

Critério adotado para “adutora econômica” (explicando o porquê, de forma didática e prática):
  • Em projetos de adutoras, um critério prático e comumente usado quando se pede “econômico” é escolher um diâmetro que gere uma velocidade de projeto em faixa econômica; valores típicos encontrados em manuais: entre \,0{,}6 e \,1{,}5\\ \mathrm{m/s}. Uma escolha clássica de compromisso (boa para reduzir custos de material e perdas) é usar velocidade nominal \,V\approx1{,}0\\ \mathrm{m/s}. Isso simplifica o dimensionamento e tende a minimizar custo total em muitas situações reais.
  • Vou usar \,V_{econ}=1{,}0\\ \mathrm{m/s} como velocidade alvo. Explico o raciocínio: velocidade muito baixa requer tubos maiores (mais caros); velocidade muito alta aumenta perdas (mais energia/potência), então a escolha intermediária é “econômica”.
  • Método prático: determinar diâmetro via relação entre vazão e velocidade, depois verificar perdas de carga com uma fórmula simples e usual (Hazen–Williams) apropriada para água potável em tubos comerciais. Se fosse necessário, poderia usar método de custo energético mais completo, mas o enunciado não fornece preços/energia/tempo, então o critério de velocidade econômica é adequado e ensina o procedimento que se usa em prova.

Passo 3

Fórmula básica para obter o diâmetro a partir da vazão e velocidade:
A=\frac{Q}{V},\qquad A=\frac{\pi D^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad D=\sqrt{\frac{4Q}{\pi V}}.
Onde:
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s}.
  • V é a velocidade média em \mathrm{m/s}.
  • A é a área da seção em \mathrm{m^2}.
  • D é o diâmetro interno em metros.
Substituindo \,Q=0{,}100\\ \mathrm{m^3/s} e \,V_{econ}=1{,}0\\ \mathrm{m/s}:
D=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}100}{\pi\cdot 1{,}0}}=\sqrt{0{,}1273239545}=0{,}356854\\ \mathrm{m}.
Logo
D\approx 0{,}357\\ \mathrm{m}=357\\ \mathrm{mm}.
Interpretação prática: o resultado indica que, para V\approx1{,}0\\ \mathrm{m/s}, um diâmetro comercial mais próximo é \,D\approx350\text{--}400\\ \mathrm{mm}. Vou adotar diâmetro comercial padrão mais próximo e disponível para cada material (ver passo seguinte).

Passo 4

Escolha de diâmetros comerciais (prática de projeto):
  • Para PVC costuma-se ter DN (diâmetros nominais) em 300, 350, 400 mm, dependendo de fabricante. Para ferro fundido também há DN 350 ou DN 400.
  • Como cálculo deu \,0{,}357\\ \mathrm{m}, opção prática e comercial: adotar \,D=350\\ \mathrm{mm} (DN350) como diâmetro comercial para ambos os trechos. Se disponibilidade exigir, DN400 também é opção segura (menores perdas, maior custo). Vou prosseguir com D=0{,}350\\ \mathrm{m} (ou seja, \,350\\ \mathrm{mm}) como solução econômica indicada.
  • Cálculo com D=0{,}350\\ \mathrm{m} — vou recomputar velocidade real e depois perdas.
Cálculo da velocidade real com D=0{,}350\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}350)^{2}}{4}=0{,}0962\\ \mathrm{m^2}\\ (\text{aprox.})
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}100}{0{,}0962}=1{,039\\ }\mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}).
Comentário: velocidade fica \approx1{,}04\\ \mathrm{m/s}, muito próximo do alvo 1{,}0\\ \mathrm{m/s} — dentro da faixa econômica. Bom.

Passo 5

Cálculo das perdas de carga por atrito (explicando a fórmula e coeficientes):
  • Vou usar a fórmula de Hazen–Williams (amplamente usada para água potável, fácil e adequada para projeto preliminar):
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}870}}
onde:
  • h_f é perda de carga total no trecho, em metros.
  • L é comprimento do trecho, em metros.
  • Q é vazão em \mathrm{m^3/s}.
  • C é coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), dependente do material e condição: valores típicos novos:
    • PVC: C\approx150.
    • Ferro fundido (bom estado): C\approx120 (valor típico; se a tubulação for velha ou rugosa, C menor → perdas maiores).
  • D é diâmetro interno em metros.
Vou calcular h_f em cada trecho com D=0{,}350\\ \mathrm{m}, Q=0{,}100\\ \mathrm{m^3/s}.
Primeiro calcule uma constante comum:
Q^{1{,}852}=(0{,}100)^{1{,}852}\approx 0{,}01403\\ (\text{aprox.})
E
D^{4{,}870}=(0{,}350)^{4{,}870}\approx 0{,}006614\\ (\text{aprox.}).
Agora trecho em ferro fundido (recalque): L_r=5{.}000\\ \mathrm{m}, C_r=120.
C_r^{1{,}852}=(120)^{1{,}852}\approx 7{.}097\times10^{3}.
Aplicando Hazen–Williams:
h_{f,r}=10{,}67\cdot\frac{5{.}000\cdot 0{,}01403}{7{.}097\times10^{3}\cdot 0{,}006614}
Calcule passo a passo (valores aproximados):
  • Numerador: 10{,}67\cdot 5{.}000\cdot0{,}01403 \approx 10{,}67\cdot70{,}15 \times10^{-1} \approx 0{,}1497\cdot5{.}000 (mantendo ordem) — resumindo, efetuando: chama-se melhor calcular h_f/L primeiro:
\frac{10{,}67\cdot Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852} D^{4{,}870}} \approx \frac{10{,}67\cdot0{,}01403}{7{.}097\times10^{3}\cdot 0{,}006614} \approx 0{,}003187\\ \mathrm{m/m}.
Então para L_r=5{.}000\\ \mathrm{m}:
h_{f,r}\approx 0{,}003187\cdot5{.}000 \approx 15{,}94\\ \mathrm{m}.
Agora trecho em PVC (gravidade): L_g=10{.}000\\ \mathrm{m}, C_g=150.
C_g^{1{,}852}=(150)^{1{,}852}\approx 1{.}074\times10^{4}.
Fazendo cálculo análogo:
\frac{10{,}67\cdot Q^{1{,}852}}{C_g^{1{,}852} D^{4{,}870}} \approx 0{,}002107\\ \mathrm{m/m}.
Para L_g=10{.}000\\ \mathrm{m}:
h_{f,g}\approx 0{,}002107\cdot10{.}000 \approx 21{,}07\\ \mathrm{m}.
Soma das perdas por atrito nos dois trechos:
h_{f,total}=h_{f,r}+h_{f,g}\approx 15{,}94 + 21{,}07 = 37{,}01\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Observação: arredondei com cuidado para manter coerência; pequenas diferenças de 0,1–0,2 m são aceitáveis em projeto preliminar.

Passo 6

Comparação com a energia disponível (diferença de cota, interpretação física):
  • Diferença de nível estático entre montante e jusante:
\Delta z = \mathrm{NA_{montante}}-\mathrm{NA_{jusante}} = 100{,}00 - 60{,}0 = 40{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: se a adução for unicamente por gravidade, a energia disponível por diferença de nível é 40\\ \mathrm{m} (desprezando perdas locais e pressões iniciais). As perdas totais calculadas por atrito somam \approx 37{,}01\\ \mathrm{m}, portanto são menores que a energia disponível. Consequência: o escoamento pode ocorrer por gravidade espontaneamente (sem necessidade de bomba) com o diâmetro escolhido.
  • Como o enunciado disse “trecho em recalque” (ou seja, havia intenção de usar bombeamento no primeiro trecho) fica claro, a partir deste cálculo, que — com os dados numéricos fornecidos — não é necessária a adição de carga pela bomba, pois as perdas totais são menores do que a queda geométrica. Em termos práticos:
    • Se existisse uma bomba apenas no trecho inicial, sua altura de entrega exigida seria:
    H_{bomba} = h_{f,total} - \Delta z.Substituindo números: H_{bomba}\approx 37{,}01 - 40{,}0 = -2{,}99\\ \mathrm{m}.Um valor negativo significa que, na configuração geométrica dada, não há necessidade de acrescentar carga — pelo contrário haveria carga sobrando (escoamento totalmente por gravidade, e o excedente poderia suportar perdas locais, pequenas perdas adicionais, ou indicar que a bomba não deve operar).
  • Portanto, conclusão prática: com D=350\\ \mathrm{mm} a vazão de 0{,}100\\ \mathrm{m^3/s} é transportada por gravidade entre 100 m e 60 m, pois h_{f,total}<\Delta z. Se o projeto exige ter um trecho em recalque (bomba) por razões de operação (por exemplo, para garantir pressão em ponto intermediário), a bomba necessária teria altura efetiva zero (ou desnecessária); caso seja instalada, ela teria que ser controlada para não criar superpressões.

Passo 7

Verificações finais e comentários práticos:
  • Velocidade encontrada com D=350\\ \mathrm{mm}: V\approx1{,}04\\ \mathrm{m/s} — dentro da faixa econômica e segura para PVC e ferro fundido (limite prático inferior/ superior).
  • Perdas por atrito por trecho (resumo):
    • Trecho recalque (ferro fundido, L=5{.}000\\ \mathrm{m}, D=0{,}350\\ \mathrm{m}): h_{f,r}\approx 15{,}94\\ \mathrm{m}.
    • Trecho gravidade (PVC, L=10{.}000\\ \mathrm{m}, D=0{,}350\\ \mathrm{m}): h_{f,g}\approx 21{,}07\\ \mathrm{m}.
    • Total h_{f,total}\approx 37{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Margem: existe uma folga de \approx 2{,}99\\ \mathrm{m} em relação à queda geométrica de 40\\ \mathrm{m}. Essa folga cobre perdas menores (locais — conexões, registros, válvulas, entrada/saída) e incertezas no coeficiente C. Em projeto detalhado recomenda-se reservar margem para essas perdas locais (por exemplo 2–4 m) e inspeccionar o estado real do material (se o ferro fundido estiver bastante envelhecido, C reduz e perdas aumentam).
  • Caso seja necessário maior margem de segurança (ou se se prever incrustações/ envelhecimento), opte por DN400 no trecho crítico (reduz perdas) e recalcular; porém custo aumenta. A escolha DN350 atende ao critério econômico e ao enunciado de projeto preliminar.

Passo 8

Resumo do dimensionamento e recomendação final (passos práticos para a prova ou projeto rápido):
  1. Adotar velocidade econômica V\approx 1{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  2. Calcular D=\sqrt{\dfrac{4Q}{\pi V}}\Rightarrow D\approx0{,}357\\ \mathrm{m}.
  3. Escolher DN comercial mais próximo: D=350\\ \mathrm{mm} (DN350) para ambos os trechos (pode-se ter DN350 em ferro fundido e em PVC).
  4. Verificar perdas com Hazen–Williams (usar C_{PVC}=150 e C_{FF}=120):
    • h_{f,r}\approx 15{,}94\\ \mathrm{m} (recalque, ferro fundido, 5 km).
    • h_{f,g}\approx 21{,}07\\ \mathrm{m} (gravidade, PVC, 10 km).
    • h_{f,total}\approx 37{,}01\\ \mathrm{m}.
  5. Comparar com \Delta z=40\\ \mathrm{m}: há margem \approx 2{,}99\\ \mathrm{m}. Portanto bombeamento não é estritamente necessário com os dados dados; se houver bomba no trecho inicial, ela não precisará fornecer carga adicional (na verdade não deve bombear na condição estática).
  6. Recomenda-se considerar perdas locais adicionais e envelhecimento do material e, se for o caso, aumentar diâmetro para DN400 ou prever manutenção para garantir coeficiente C próximo ao valor usado.

Resposta

Diâmetro recomendado para o trecho de recalque (ferro fundido): D=350\\ \mathrm{mm}.
Diâmetro recomendado para o trecho de gravidade (PVC): D=350\\ \mathrm{mm}.
Velocidade correspondente: V\approx 1{,}04\\ \mathrm{m/s}.
Perda de carga no trecho recalque: h_{f,r}\approx 15{,}94\\ \mathrm{m}.
Perda de carga no trecho gravidade: h_{f,g}\approx 21{,}07\\ \mathrm{m}.
Perda de carga total: h_{f,total}\approx 37{,}01\\ \mathrm{m}.
Diferença de cota disponível: \Delta z=40{,}0\\ \mathrm{m}.
Conclusão sobre bombeamento: com esses diâmetros e dados, não é necessário adicionar carga por bomba (há folga \approx 2{,}99\\ \mathrm{m}); se uma bomba for instalada, sua altura requerida é nula/negativa na condição estática (logo a bomba não precisaria bombear para vencer perdas calculadas).

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