Em uma adutora enterrada de 200 mm possui em sua extensão uma curva de 90^{\circ} e uma curva de 45^{\circ}. Sabendo que ambas as conexões estão sujeitas a uma pressão interna de 70 m.c.a. e a tensão admissível do terreno é de 1,0 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Dimensionar a área mínima de contato com o solo que o bloco de ancoragem das referidas conexões.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado fornece e o que ele pede.
Dados fornecidos:
Diâmetro interno da adutora: 200\\ \mathrm{mm}.
Existem duas curvas: uma de 90^\circ e outra de 45^\circ.
Pressão interna nas conexões: 70\\ \mathrm{m.c.a.}.
Tensão admissível do terreno: 1,0\\ \mathrm{Kgf/cm^2}.
O enunciado pede:
Dimensionar a área mínima de contato com o solo que o bloco de ancoragem deve ter para cada uma das conexões (a de 90^\circ e a de 45^\circ).
Passo 2
Primeiro precisamos colocar a pressão em unidades compatíveis com a tensão admissível do solo. A tensão do solo está em \mathrm{Kgf/cm^2}, então convertemos a pressão hidrostática.
Sabendo que 1\\ \mathrm{m.c.a.} \approx 0,1\\ \mathrm{Kgf/cm^2}, temos:
(Nessa unidade fica simples: força em Kgf será p vezes área em \mathrm{cm^2}.)
Passo 3
Calcular a área da seção transversal da tubulação (a área sobre a qual a pressão atua).
Diâmetro D = 200\\ \mathrm{mm} = 20\\ \mathrm{cm}.
Raio r = 10\\ \mathrm{cm}.
Área da seção:
A = \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi\\ \mathrm{cm^2}.
Numericamente:
A \approx 100\pi \approx 314,159\\ \mathrm{cm^2}.
Passo 4
Precisamos achar a força resultante que a pressão interna tende a aplicar ao bloco de ancoragem quando a tubulação muda de direção por um ângulo \theta. Vou explicar a fórmula e o que cada letra significa:
p é a pressão interna (em \mathrm{Kgf/cm^2}).
A é a área da seção transversal (em \mathrm{cm^2}).
\theta é o ângulo de desvio da tubulação (em radianos ou graus).
F é a magnitude da força resultante que o bloco precisa resistir (em Kgf).
Para uma curva que muda a direção da tubulação em um ângulo \theta, o módulo da força resultante causada pela pressão é
F = p\,A\,\big| \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 \big|
onde \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 são os vetores unitários nas direções das duas extremidades. O módulo da diferença vetorial dá, por propriedades trigonométricas:
Explicação curta: para \theta=180^\circ (meia-volta) aparece F=2pA (faz sentido físico), para \theta=0 a força é zero, e para ângulos intermediários a expressão varia suavemente conforme o desvio.
Passo 5
Calcular a força para a curva de 90^\circ.
Ângulo \theta = 90^\circ. Então \dfrac{\theta}{2}=45^\circ e \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Observação prática: em projetos costuma-se adotar uma margem de segurança e arredondar para cima (por exemplo adotar blocos com área ligeiramente maior e/ou verificar fatores de segurança do solo). Aqui foram calculadas as áreas mínimas teóricas com base na tensão admissível fornecida.