Em uma adutora enterrada de 200 mm possui em sua extensão uma curva de 90^{\circ} e uma curva de 45^{\circ}. Sabendo que ambas as conexões estão sujeitas a uma pressão interna de 70 m.c.a. e a tensão admissível do terreno é de 1,0 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Dimensionar a área mínima de contato com o solo que o bloco de ancoragem das referidas conexões.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado fornece e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro interno da adutora: 200\\ \mathrm{mm}.
    • Existem duas curvas: uma de 90^\circ e outra de 45^\circ.
    • Pressão interna nas conexões: 70\\ \mathrm{m.c.a.}.
    • Tensão admissível do terreno: 1,0\\ \mathrm{Kgf/cm^2}.
  • O enunciado pede:
    • Dimensionar a área mínima de contato com o solo que o bloco de ancoragem deve ter para cada uma das conexões (a de 90^\circ e a de 45^\circ).

Passo 2

Primeiro precisamos colocar a pressão em unidades compatíveis com a tensão admissível do solo. A tensão do solo está em \mathrm{Kgf/cm^2}, então convertemos a pressão hidrostática.
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{m.c.a.} \approx 0,1\\ \mathrm{Kgf/cm^2}, temos:
\text{Pressão interna } p = 70\\ \mathrm{m.c.a.} = 70 \times 0,1\\ \mathrm{Kgf/cm^2} = 7\\ \mathrm{Kgf/cm^2}.ã
(Nessa unidade fica simples: força em Kgf será p vezes área em \mathrm{cm^2}.)

Passo 3

Calcular a área da seção transversal da tubulação (a área sobre a qual a pressão atua).
  • Diâmetro D = 200\\ \mathrm{mm} = 20\\ \mathrm{cm}.
  • Raio r = 10\\ \mathrm{cm}.
  • Área da seção:
A = \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi\\ \mathrm{cm^2}.
Numericamente:
A \approx 100\pi \approx 314,159\\ \mathrm{cm^2}.

Passo 4

Precisamos achar a força resultante que a pressão interna tende a aplicar ao bloco de ancoragem quando a tubulação muda de direção por um ângulo \theta. Vou explicar a fórmula e o que cada letra significa:
  • p é a pressão interna (em \mathrm{Kgf/cm^2}).
  • A é a área da seção transversal (em \mathrm{cm^2}).
  • \theta é o ângulo de desvio da tubulação (em radianos ou graus).
  • F é a magnitude da força resultante que o bloco precisa resistir (em Kgf).
Para uma curva que muda a direção da tubulação em um ângulo \theta, o módulo da força resultante causada pela pressão é
F = p\,A\,\big| \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 \big|
onde \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 são os vetores unitários nas direções das duas extremidades. O módulo da diferença vetorial dá, por propriedades trigonométricas:
\big| \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 \big| = \sqrt{2-2\cos\theta} = 2\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Portanto a fórmula prática que usaremos é:
\boxed{F = 2\,p\,A\,\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}
Explicação curta: para \theta=180^\circ (meia-volta) aparece F=2pA (faz sentido físico), para \theta=0 a força é zero, e para ângulos intermediários a expressão varia suavemente conforme o desvio.

Passo 5

Calcular a força para a curva de 90^\circ.
  • Ângulo \theta = 90^\circ. Então \dfrac{\theta}{2}=45^\circ e \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Aplicando a fórmula:
F_{90} = 2\,p\,A\,\sin\!\left(45^\circ\right) = 2\,p\,A\,\frac{\sqrt{2}}{2} = p\,A\,\sqrt{2}.
  • Substituindo p=7\\ \mathrm{Kgf/cm^2} e A=100\pi\\ \mathrm{cm^2}:
pA = 7 \times 100\pi = 700\pi\\ \mathrm{Kgf} \approx 2199,1148575\\ \mathrm{Kgf}.
F_{90} = pA\sqrt{2} \approx 2199,1148575 \times 1,414213562 = 3110,0180567\\ \mathrm{Kgf}.

Passo 6

Calcular a força para a curva de 45^\circ.
  • Ângulo \theta = 45^\circ. Então \dfrac{\theta}{2}=22{,}5^\circ e \sin 22{,}5^\circ \approx 0,3826834324.
  • Aplicando a fórmula:
F_{45} = 2\,p\,A\,\sin\!\left(22{,}5^\circ\right).
  • Numericamente:
F_{45} \approx 2 \times 2199,1148575 \times 0,3826834324 = 1682,9626363\\ \mathrm{Kgf}.

Passo 7

Converter força em área mínima de contato usando a tensão admissível do solo.
  • Regra: \text{Área mínima} = \dfrac{F}{\sigma_{\text{adm}}}Áí, onde \sigma_{\text{adm}}=1{,}0\\ \mathrm{Kgf/cm^2}.
  • Como \sigma_{\text{adm}}=1{,}0\\ \mathrm{Kgf/cm^2}, a área em \mathrm{cm^2} numericamente é igual à força em Kgf.
    • Para 90^\circ:
    A_{\text{cont},90} = \frac{F_{90}}{1{,}0} = 3110{,}0180567\\ \mathrm{cm^2}.Convertendo para \mathrm{m^2} ( 1\\ \mathrm{m^2}=10000\\ \mathrm{cm^2}): A_{\text{cont},90} \approx \frac{3110{,}0180567}{10000} = 0{,}3110018057\\ \mathrm{m^2}.
    • Para 45^\circ:
    A_{\text{cont},45} = \frac{F_{45}}{1{,}0} = 1682{,}9626363\\ \mathrm{cm^2},
A_{\text{cont},45} \approx \frac{1682{,}9626363}{10000} = 0{,}1682962636\\ \mathrm{m^2}.
Observação prática: em projetos costuma-se adotar uma margem de segurança e arredondar para cima (por exemplo adotar blocos com área ligeiramente maior e/ou verificar fatores de segurança do solo). Aqui foram calculadas as áreas mínimas teóricas com base na tensão admissível fornecida.

Resposta

A_{\text{cont},90} = 3110{,}02\\ \mathrm{cm^2} = 0{,}3110\\ \mathrm{m^2}
A_{\text{cont},45} = 1682{,}96\\ \mathrm{cm^2} = 0{,}1683\\ \mathrm{m^2}

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