Uma galeria de águas pluviais com diâmetro de 1 \mathrm{~m}, \mathrm{n}=0,013 e declividade de 0,003 \mathrm{m} / \mathrm{m} transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine: a) altura d’água e velocidade média e b) máxima vazão.

Passo 1

Enunciado: temos um conduto circular de diâmetro D=1\,\mathrm{m}, coeficiente de Manning n=0,013, declividade S=0,003 e vazão Q=1\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s} em regime permanente uniforme. Pede‐se:
a) profundidade de escoamento y e velocidade média v;
b) vazão máxima Q_{\max}.
Conteúdo: escoamento uniforme pela equação de Manning e geometria de canal circular parcialmente cheio.

Passo 2

Para escoamento uniforme, usamos a equação de Manning
Q \;=\; \frac{1}{n}\;A\;R^{2/3}\;S^{1/2}
Definindo o fator
k \;=\;\frac{1}{n}\,S^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad k \;=\;\frac{1}{0,013}\,\sqrt{0,003}\;\approx\;4{,}21
fica
Q \;=\; k\,A\,R^{2/3}\,.

Passo 3

Num conduto circular parcialmente cheio, com razão de profundidade \beta = y/D, define‐se
\theta = 2\operatorname{arccos}\bigl(1 - 2\beta\bigr),
A(\beta) = \frac{D^2}{8}\,\bigl(\theta - \sin\theta\bigr),
P(\beta) = \frac{D\,\theta}{2}, \quad R(\beta) = \frac{A(\beta)}{P(\beta)}.

Passo 4

Substituindo em Manning obtém‐se a equação não linear
Q(\beta) = k\,A(\beta)\,\bigl[R(\beta)\bigr]^{2/3}
e resolvemos por tentativa-erro ajustando \beta até Q=1\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Após algumas iterações chega-se a
\beta\approx0,662.

Passo 5

Com \beta=0,662:
y = \beta\,D \approx 0,662\times1 = 0,662\,\mathrm{m},
A \approx 0,551\,\mathrm{m}^2, \quad v = \frac{Q}{A} \approx \frac{1}{0,551} \approx 1,81\,\mathrm{m/s}.

Passo 6

A vazão máxima ocorre para \beta\approx0,94. Calculando nessa condição:
A(0{,}94)\approx0,767\,\mathrm{m}^2, \quad R(0{,}94)\approx0,289\,\mathrm{m},
Q_{\max} = k\,A(0{,}94)\,R(0{,}94)^{2/3} \approx4{,}21\times0,767\times0,289^{2/3} \approx1,39\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Resposta

a) Profundidade y\approx0,662\,\mathrm{m} e velocidade média v\approx1,81\,\mathrm{m/s}.
b) Vazão máxima Q_{\max}\approx1,39\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

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