Dimensione uma galeria circular em concreto para uma vazão de 0,7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, declividade longitudinal de 2 \%. A galeria deve funcionar com um tirante máximo de 80 \% do diâmetro e velocidade máxima de 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Precisamos dimensionar um galeria circular em concreto para escoar Q = 0,7\;\mathrm{m^3/s} com declividade i = 2\%, de modo que o tirante (profundidade da água) não ultrapasse 80\% do diâmetro e a velocidade não ultrapasse 4{,}5\;\mathrm{m/s}. O conteúdo usado será escoamento em conduto parcialmente cheio com a fórmula de Manning. Assumimos coeficiente de rugosidade típico de concreto armado, n = 0{,}013.

Passo 2

Geometria do setor circular carregado a h/D = 0{,}8
Quando a profundidade h vale 0{,}8\,D, o meio ângulo \theta que define o setor molhado satisfaz
\frac{h}{D} \;=\; \frac12\,(1 - \cos\theta) \quad\Longrightarrow\quad 0,8 = \tfrac12\,(1 - \cos\theta) \;\Rightarrow\; \cos\theta = -0,6 \;\Rightarrow\; \theta = \operatorname{arccos}(-0,6)\approx 2{,}2143\;\mathrm{rad}.

Passo 3

Expressões de área molhada A e perímetro molhado P
Para raio R = D/2 e meio ângulo \theta, temos
A \;=\; R^2\bigl(\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr), \qquad P \;=\; 2\,R\,\theta.
Substituindo R=D/2 e \sin\theta\approx0,8, \cos\theta=-0,6:
A = \frac{D^2}{4}\,\bigl(2{,}2143 - (0,8)(-0,6)\bigr) =0,6736\,D^2, \quad P = D\,\theta = 2,2143\,D.
Logo o raio hidráulico é
R_h = \frac{A}{P} = \frac{0,6736\,D^2}{2,2143\,D} = 0,3043\,D.

Passo 4

Aplicação da fórmula de Manning e solução para D
A fórmula de Manning para vazão em conduto parcialmente cheio é
Q = \frac{1}{n}\;A\,R_h^{2/3}\,\sqrt{i}.
Substituindo A=0,6736\,D^2, R_h=0,3043\,D, i=0,02, n=0,013:
Q = \frac{1}{0,013}\;0,6736\,D^2\;(0,3043\,D)^{2/3}\,(0,02)^{1/2} =3{,}313\;D^{8/3}.
Igualando a 0,7\;\mathrm{m^3/s}:
D^{8/3} = \frac{0,7}{3{,}313} = 0{,}2113 \quad\Longrightarrow\quad D = \bigl(0{,}2113\bigr)^{3/8}\approx0{,}56\;\mathrm{m}.

Passo 5

Verificação da velocidade média
A velocidade média é
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,7}{0,6736\,(0,56)^2} \approx\frac{0,7}{0,2113} \approx3{,}31\;\mathrm{m/s},
que é menor que o máximo permitido 4{,}5\;\mathrm{m/s}.

Resposta

Diâmetro aproximado D = 0{,}56\;\mathrm{m}. Recomenda-se adotar D = 0{,}60\;\mathrm{m} como valor comercial.

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