Em uma das extremidades de um tanque retangular de 0,90 \mathrm{~m} de largura, água é admitida com vazão de 57 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. No fundo do tanque existe um pequeno orifício circular de 7,0 \mathrm{~cm} de diâmetro, escoando para a atmosfera. Na outra extremidade existe um vertedor retangular livre, de parede fina, com altura \mathrm{P}=1,20 \mathrm{~m} e largura da soleira igual a 0,90 \mathrm{~m}. Determine a altura da água Y no tanque e a vazão pelo vertedor, na condição de equilíbrio. Utilize a equação de Francis, \mathrm{Cd}=0,61 e 1,6542(\mathrm{H}-1,2)^{\wedge} 3 / 2=0,045.

Passo 1

O enunciado trata de um tanque retangular de largura 0,90\\ \mathrm m que recebe água com vazão Q_{\rm in}=57\\ \mathrm L/s. No fundo há um orifício circular de diâmetro D=7{,}0\\ \mathrm{cm} e, na outra extremidade, um vertedor livre retangular de soleira fina, largura L=0,90\\ \mathrm m e altura de crista P=1,20\\ \mathrm m. Queremos encontrar, em regime permanente, a altura da lâmina Y e a vazão que passa pelo vertedor Q_w. Para isso usaremos a equação de escoamento em orifício submerso e a fórmula de Francis para vertedor retangular livre.

Passo 2

Escrevemos as vazões de saída em função de Y:
  1. Orifício no fundo:
Q_o = C_d\,A\sqrt{2gY},
com
A=\frac{\pi D^2}{4} \quad,\quad C_d=0,61 \quad,\quad g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
Calculando a constante combinada,
K_o = C_d\,A\,\sqrt{2g} =0{,}61\;\frac{\pi(0,07)^2}{4}\;\sqrt{2\cdot9,81} \approx0{,}010397,
de modo que
Q_o = K_o\,\sqrt{Y}\,.
  1. Vertedor retangular livre (Fórmula de Francis):
Q_w = \frac{2}{3}\,C_d\,L\,\sqrt{2g}\;(Y-P)^{3/2}.
Análogo ao cálculo acima, definimos
K_w = \frac{2}{3}\;0{,}61\;\,0{,}90\;\sqrt{2\cdot9,81} \approx1{,}6542,
ficando
Q_w = K_w\,(Y-1{,}20)^{3/2}.

Passo 3

Em regime permanente a vazão de entrada se divide entre orifício e vertedor:
Q_{\rm in} = Q_o + Q_w \quad\Longrightarrow\quad 0{,}057 = 0{,}010397\,\sqrt{Y} \;+\; 1{,}6542\,(Y-1{,}20)^{3/2}.

Passo 4

Note que Q_o é relativamente pequeno, então a maior parte sai pelo vertedor. Estimamos então
Q_w \approx 0{,}057 - Q_o \approx 0{,}045\\ \mathrm{m^3/s}.
Logo impomos
1{,}6542\,(Y-1{,}20)^{3/2} = 0{,}045 \quad\Longrightarrow\quad (Y-1{,}20)^{3/2} = \frac{0{,}045}{1{,}6542}\approx0{,}02718 \quad\Longrightarrow\quad Y-1{,}20 = (0{,}02718)^{2/3}\approx0{,}0904.

Passo 5

Daí encontramos
Y = 1{,}20 + 0{,}0904 = 1{,}2904\\ \mathrm{m}.
E a vazão no vertedor, de fato,
Q_w = 1{,}6542\,(1{,}2904-1{,}20)^{3/2}\approx0{,}045\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

Altura da água no tanque:
\displaystyle Y\approx1,29\\ \mathrm m.
Vazão pelo vertedor:
\displaystyle Q_w\approx0,045\\ \mathrm{m^3/s} (45 L/s).

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