Se um pequeno campo elétrico \mathcal{E} for aplicado ao longo da direçāo x, calcule a polarizaçāo elétrica, isto é, o momento de dipolo elétrico médio por unidade de volume ao longo da direçāo x.

Passo 1

Resumindo, temos um conjunto de N moléculas com momento de dipolo permanente de módulo p, em equilíbrio térmico à temperatura T. Aplicamos um campo elétrico uniforme e fraco \mathcal{E} ao longo de x. Queremos a polarização elétrica
P_x=\frac{1}{V}\sum_{i=1}^{N}\langle p_{i,x}\rangle
onde \langle p_{i,x}\rangle é o valor médio do componente x do dipolo de cada molécula. Como todas são idênticas, basta calcular \langle p_x\rangle para uma molécula e depois multiplicar pela densidade n=N/V.

Passo 2

Em mecânica estatística canônica, a distribuição angular de cada dipolo é proporcional a
e^{\beta\,p\,\mathcal{E}\cos\theta},
com \beta=1/(k_B T) e \theta o ângulo entre \vec p e \mathcal{E}. O fator de partição angular é
Z=\int e^{\beta p \mathcal{E}\cos\theta}\,d\Omega =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}e^{\beta p\mathcal{E}\cos\theta}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
O momento médio ao longo de x é
\langle p_x\rangle =\frac{1}{Z}\int p\cos\theta\;e^{\beta p\mathcal{E}\cos\theta}\,d\Omega.

Passo 3

Para campo pequeno usamos a expansão
e^{\beta p\mathcal{E}\cos\theta}\approx 1+\beta p\mathcal{E}\cos\theta.
Então o denominador vira
Z\approx\int d\Omega=4\pi,
e o numerador
\int p\cos\theta\bigl(1+\beta p\mathcal{E}\cos\theta\bigr)d\Omega =p\,\beta p\mathcal{E}\int\cos^2\theta\,d\Omega =p\,\beta p\mathcal{E}\cdot\frac{4\pi}{3}.
Logo
\langle p_x\rangle \approx\frac{p^2\beta\mathcal{E}}{3} =\frac{p^2}{3k_B T}\,\mathcal{E}.

Passo 4

Como P_x=n\,\langle p_x\rangle com n=N/V, obtemos
P_x =\frac{N}{V}\,\frac{p^2}{3k_B T}\,\mathcal{E} =\frac{n\,p^2}{3k_B T}\,\mathcal{E}.

Resposta

P_x = \frac{N\,p^2}{3\,V\,k_B\,T}\;\mathcal{E} \quad\text{ou}\quad P_x = \frac{n\,p^2}{3\,k_B\,T}\;\mathcal{E}.

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