Um canal retangular de concreto com n=0,015, declividade de 0,5 \% e largura de 2 m, funciona em regime uniforme com a profundidade de 1,43 \mathrm{~m} a uma distância X de uma barragem de 1 m de altura. Determinar a) a vazão no canal; b) a profundidade crítica sobre a barragem; c) a energia sobre a barragem e a energia na distância X a montante da barragem onde ocorre a profundidade média (yn); d) a perda de carga na seção 2 dada por \mathrm{J}=\left(\mathrm{n}^{2} . \mathrm{V}^{2}\right) /(\mathrm{Rh} 4 / 3); e) o regime de escoamento na seção 1 distante X da barragem; f) a distância X da barragem dada por X=(E 2-E 1) /(I-J)

Passo 1

O enunciado trata de um canal retangular de largura b=2{,}0\\ \mathrm{m}, coeficiente de Manning n=0{,}015 e declividade do leito I=S_{0}=0{,}5\% = 0{,}005. Sabemos que a uma distância X da barragem o escoamento está em regime uniforme com profundidade y_{n}=1{,}43\\ \mathrm{m}. Vamos:
– usar a fórmula de Manning para achar a vazão Q;
– calcular a profundidade crítica sobre a barragem;
– achar as energias específicas na crista (seção 2) e na seção do regime uniforme (seção 1);
– calcular a perda de carga unitária J na seção 2 via J = n^{2}V^{2}/R_{h}^{4/3};
– determinar o regime de escoamento em secção 1 pelo número de Froude;
– e por fim achar X a partir de
X = \frac{E_{2}-E_{1}}{I - J}\,.

Passo 2

Cálculo da vazão Q no regime uniforme ( y_{n}=1{,}43\\ \mathrm{m}).
Área molhada
A = b\,y_{n} = 2 \times 1{,}43 = 2{,}86\\ \mathrm{m^{2}}.
Perímetro molhado
P = b + 2\,y_{n} = 2 + 2\cdot1{,}43 = 4{,}86\\ \mathrm{m},
logo raio hidráulico
R_{h} = \frac{A}{P} = \frac{2{,}86}{4{,}86} \approx 0{,}588\\ \mathrm{m}.
Velocidade média pelo Manning
Q = \frac{1}{n}\,A\,R_{h}^{2/3}\,S_{0}^{1/2} = \frac{1}{0{,}015} \times 2{,}86 \times (0{,}588)^{2/3} \times (0{,}005)^{1/2} \approx 9{,}45\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Cálculo da profundidade crítica y_{c} sobre a barragem (canal retangular):
y_{c} = \Bigl(\frac{Q^{2}}{g\,b^{2}}\Bigr)^{1/3} = \Bigl(\frac{9{,}45^{2}}{9{,}81\cdot2^{2}}\Bigr)^{1/3} \approx 1{,}32\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Energia específica na crista (seção 2), onde y=y_{c}:
A_{2} = b\,y_{c} = 2 \times 1{,}32 = 2{,}64\\ \mathrm{m^{2}},\quad v_{2} = \frac{Q}{A_{2}} = \frac{9{,}45}{2{,}64}\approx 3{,}58\\ \mathrm{m/s}.
Energia específica
E_{2} = y_{c} + \frac{v_{2}^{2}}{2\,g} = 1{,}32 + \frac{3{,}58^{2}}{2\cdot9{,}81} \approx 1{,}97\\ \mathrm{m}.
Energia específica na seção 1 (regime uniforme y=y_{n}):
v_{1} = \frac{Q}{b\,y_{n}} = \frac{9{,}45}{2\cdot1{,}43}\approx 3{,}30\\ \mathrm{m/s},
E_{1} = y_{n} + \frac{v_{1}^{2}}{2\,g} = 1{,}43 + \frac{3{,}30^{2}}{2\cdot9{,}81} \approx 1{,}99\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Perda de carga unitária na seção 2:
raio hidráulico em 2:
R_{h2} = \frac{A_{2}}{P_{2}} = \frac{2{,}64}{2 + 2\cdot1{,}32} = \frac{2{,}64}{4{,}64}\approx0{,}57\\ \mathrm{m},
J = \frac{n^{2}v_{2}^{2}}{R_{h2}^{4/3}} = \frac{(0{,}015)^{2}\cdot3{,}58^{2}}{(0{,}57)^{4/3}} \approx 6{,}17\times10^{-3}\\ (\text{m/m}).

Passo 6

Regime de escoamento na seção 1 pelo número de Froude:
\mathrm{Fr}_{1} = \frac{v_{1}}{\sqrt{g\,y_{n}}} = \frac{3{,}30}{\sqrt{9{,}81\cdot1{,}43}} \approx 0{,}88 < 1,
logo é escoamento subcrítico (regime uniforme subcrítico).

Passo 7

Distância X da barragem:
X = \frac{E_{2}-E_{1}}{I - J} = \frac{1{,}97 - 1{,}99}{0{,}005 - 0{,}00617} \approx \frac{-0{,}02}{-0{,}00117} \approx 17{,}1\\ \mathrm{m}.
(Arredondando, X\approx17\\ \mathrm{m}.)

Resposta

a) Q \approx 9{,}45\\ \mathrm{m^{3}/s}
b) y_{c} \approx 1{,}32\\ \mathrm{m}
c) E_{2}\approx1{,}97\\ \mathrm{m},\;E_{1}\approx1{,}99\\ \mathrm{m}
d) J\approx6{,}17\times10^{-3}\\ \mathrm{m/m}
e) escoamento subcrítico ( \mathrm{Fr}_{1}\approx0{,}88<1)
f) X\approx17\\ \mathrm{m}

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