A energia usada por um mamífero marinho durante o mergulho é igual à sua taxa metabólica multiplicado pelo tempo que dura a imersão. Se o fator de escala entre dois mamíferos semelhantes for L, qual será a relação entre os tempos em que ambos os mamíferos podem ficar dentro da água?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que a energia usada por um mamífero marinho durante um mergulho é igual à sua taxa metabólica multiplicada pelo tempo de imersão. Também diz que dois mamíferos são geometricamente semelhantes e o fator de escala linear entre eles é
. A pergunta é: qual é a relação entre os tempos em que os dois mamíferos conseguem ficar dentro da água? \n\nInformações relevantes listadas: \n1. Energia consumida durante o mergulho = (taxa metabólica)
(tempo de imersão). \n2. Dois mamíferos são geometricamente semelhantes com fator de escala linear
(ou seja, todas as dimensões lineares do maior são
vezes as do menor). \n3. Devemos relacionar os tempos de imersão dos dois animais em função de
.
Passo 2
Vamos traduzir isso em variáveis e relações geométricas básicas. Definimos: \n-
= massa do animal; \n-
= taxa metabólica (potência, energia por tempo) do animal; \n-
= energia disponível/armazenada para o mergulho (por exemplo, oxigênio armazenado, reservas), que vamos assumir proporcional à massa; \n-
= tempo de imersão (o que queremos relacionar). \n\nExplicação e justificativa geométrica: para animais geometricamente semelhantes, a massa (que é proporcional ao volume) escala com o cubo do fator linear. Portanto, se um animal é
vezes maior linearmente que o outro, suas massas relacionam-se por
. Aqui eu explico o porquê: volume de um corpo semelhante varia como
, e massa é densidade vezes volume; assumindo densidade aproximadamente constante entre os dois,
.
Passo 3
Precisamos agora de uma lei que relacione a taxa metabólica
com a massa
. Há diferentes hipóteses possíveis; vou explicar a escolha e suas alternativas. \n\nEscolha padrão (empírica): a taxa metabólica basal de mamíferos escala aproximadamente como uma potência da massa segundo a lei de Kleiber:
. Aqui: \n-
é a energia por tempo consumida pelo organismo (unidade: energia/tempo). \n-
é a massa. \nEssa relação é empírica, bem aceita em fisiologia comparativa, e é a relação que costuma ser usada em problemas de escala biológica porque dá resultados que concordam com observações (por exemplo, animais maiores têm taxa metabólica por unidade de massa menor). \n\nAlternativas rápidas (e o que mudariam): \n- Se alguém assumisse
(metabolismo diretamente proporcional à massa), então o tempo de mergulho seria independente do tamanho. \n- Se alguém assumisse
área de superfície
(isto é,
), obter-se-ia outro expoente distinto. \n\nVou usar a lei de Kleiber (
) porque é a hipótese padrão em física/biologia de escalas e é provavelmente o que o exercício espera. Se você precisar, mais tarde eu mostro como a resposta muda com outras hipóteses.
Passo 4
Agora montamos a relação entre energia disponível
, potência
e tempo
. Pelo enunciado:
. \n\nAssumimos que a energia disponível para o mergulho escala com a massa, ou seja
. (Explicação: reservas de oxigênio/tecidos são proporcionais à quantidade de corpo, logo à massa.) \n\nJuntando as proporções: \n
\nAqui cada passo: \n- escrevemos
porque energia disponível dividida pela potência dá o tempo que essa energia sustenta; \n- substituímos
e
; \n- simplificamos as potências para obter
. \n\nAgora substituímos
(do Passo 2): \n
Passo 5
Interpretação e forma final: se um animal é
vezes maior linearmente que outro, o tempo de mergulho escala como
. Em termos de razão entre os tempos dos dois animais (chame
o tempo do menor e
o do maior), temos \n
\n\nExemplo numérico rápido (para fixar): se
(um animal com dimensões lineares duas vezes maiores), então
. Ou seja, o maior permanece submerso cerca de
a mais de tempo que o menor, segundo esse modelo.
Passo 6
Resumo prático para a prova (receita de bolso): \n1. reconheça que massa
; \n2. use
(lei de Kleiber); \n3. energia disponível
; \n4. deduza
e então
. \n\nObservação final de encorajamento: dá para decorar esse procedimento e aplicá-lo rápido na prova — e se alguém na questão pedir outra hipótese para
, repita o passo 4 com essa hipótese e refaça as potências. Você consegue!