As dimensões da viscosidade cinemática são:
(a) F L^{-2} T
(b) M L^{-1} T^{-1}
(c) L^{2} T^{-1}
(d) L^{2} T^{-2}
(e) L^{2} T^{2}

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a dimensão da viscosidade cinemática e dá cinco alternativas:
(a) F L^{-2} T
(b) M L^{-1} T^{-1}
(c) L^{2} T^{-1}
(d) L^{2} T^{-2}
(e) L^{2} T^{2}
O que precisamos encontrar: as dimensões de uma grandeza chamada viscosidade cinemática (normalmente denotada por \nu). Não há outras informações numéricas no enunciado, só as alternativas.

Passo 2

Definição e relação fundamental. A viscosidade cinemática \nu é definida como a razão entre a viscosidade dinâmica (ou absoluta) \mu e a densidade \rho:
\nu=\frac{\mu}{\rho}.
Vou obter as dimensões de \mu e \rho e então dividir para achar as dimensões de \nu.

Passo 3

Dimensão da densidade \rho. Densidade é massa por volume, logo as dimensões de \rho são
\dim(\rho)=\frac{M}{L^{3}}=M L^{-3},
onde M é massa e L é comprimento.

Passo 4

Dimensão da viscosidade dinâmica \mu. Use a relação entre tensão de cisalhamento (shear stress) \tau e gradiente de velocidade: \tau=\mu\,\partial v/\partial y. Aqui:
  • \tau tem dimensões de pressão (força por área), ou seja \dim(\tau)=\dfrac{F}{L^{2}}.
  • Força F tem dimensões M L T^{-2}.
    Assim
\dim(\tau)=\frac{M L T^{-2}}{L^{2}}=M L^{-1} T^{-2}.
O gradiente de velocidade \partial v/\partial y é velocidade sobre comprimento. Velocidade tem dimensões L T^{-1}, dividindo por L T^{-1}. Logo \dim(\partial v/\partial y)=T^{-1}.
Como \tau=\mu\,\partial v/\partial y, isolando \mu obtemos
\dim(\mu)=\frac{\dim(\tau)}{\dim(\partial v/\partial y)}=\frac{M L^{-1} T^{-2}}{T^{-1}}=M L^{-1} T^{-1}.

Passo 5

Agora calcule as dimensões de \nu=\mu/\rho fazendo a divisão:
\dim(\nu)=\frac{\dim(\mu)}{\dim(\rho)}=\frac{M L^{-1} T^{-1}}{M L^{-3}}.
Cancele M e simplifique as potências de L:
\dim(\nu)=L^{-1-(-3)} T^{-1}=L^{2} T^{-1}.

Passo 6

Interpretação prática rápida (dica para prova): L^{2} T^{-1} é exatamente a unidade do SI \mathrm{m}^{2}\!/\mathrm{s}, que é a unidade comum para viscosidade cinemática (por exemplo, água à temperatura ambiente tem \nu\approx 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}\!/\mathrm{s}). Isso confirma que o resultado faz sentido fisicamente.

Resposta

(c) L^{2} T^{-1}

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