1.3.7 A viscosidade cinemática do ar seco a 25^{\circ} \mathrm{F} e 29,4 psia em pé quadrado por segundo, é:
(a) 6,89 \times 10^{-5}
(b) 1,4 \times 10^{-4}
(c) 6,89 \times 10^{-4}
(d) 1,4 \times 10^{-3}
(e) nenhuma das respostas anteriores

Passo 1

O enunciado pede a viscosidade cinemática do ar seco a 25^\circ\mathrm{F} e 29{,}4\\ \mathrm{psia}, em unidades de pé quadrado por segundo. Dados fornecidos:
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{F}.
  • Pressão: 29{,}4\\ \mathrm{psia}.
    O que se quer calcular: a viscosidade cinemática \nu (em \mathrm{ft}^2/\mathrm{s}).

Passo 2

O que é viscosidade cinemática e como vamos calcular:
  • A viscosidade cinemática \nu é definida por \displaystyle \nu=\frac{\mu}{\rho}, onde
    • \mu é a viscosidade dinâmica (viscosidade absoluta) em \mathrm{Pa\cdot s} (ou outra unidade de viscosidade),
    • \rho é a densidade do fluido em \mathrm{kg/m^3}.
      Estratégia: calcular \mu (usando a lei de Sutherland para ar), calcular \rho (usando a equação dos gases ideais), obter \nu em \mathrm{m^2/s} e converter para \mathrm{ft^2/s}.

Passo 3

Converter a temperatura e pressão para unidades SI (para usar fórmulas padrão).
  • Converter 25^\circ\mathrm{F} para Kelvin: T_{^\circ C}=\frac{5}{9}\bigl(25-32\bigr)=-3{,}8888889^\circ\mathrm{C}
T = 273{,}15 + T_{^\circ C} = 273{,}15 - 3{,}8888889 = 269{,}261111\\ \mathrm{K}.
  • Converter 29{,}4\\ \mathrm{psia} para pascal (1 psi =6894{,}757293168\\ \mathrm{Pa}): P = 29{,}4\times6894{,}757293168 = 202705{,}8644\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a viscosidade dinâmica \mu do ar a T usando a lei de Sutherland.
  • A lei de Sutherland (forma prática) para ar: \mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},onde, para o ar, valores usuais são \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}.
  • Calcular os fatores: \frac{T}{T_0}=\frac{269{,}261111}{273{,}15}=0{,}9857558,
\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}=0{,}9857558^{1{,}5}\approx0{,}978732,
\frac{T_0+S}{T+S}=\frac{273{,}15+110{,}4}{269{,}261111+110{,}4}=\frac{383{,}55}{379{,}661111}\approx1{,}010271.
\mu=1{,}716\times10^{-5}\times0{,}978732\times1{,}010271\approx1{,}6985\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Explicação didática (curtinha) da Sutherland: essa fórmula ajusta a dependência da viscosidade com a temperatura para gases, mostrando que \mu cresce aproximadamente como T^{3/2} com um ajuste racional para melhor concordância experimental. Os parâmetros \mu_0,T_0,S são constantes experimentais para o gás.

Passo 5

Calcular a densidade \rho do ar pela equação dos gases ideais:
  • Equação dos gases ideais em forma útil: \displaystyle \rho=\frac{P}{R_{\text{ar}}\,T}, onde R_{\text{ar}} é a constante específica do ar.
  • Usar R_{\text{ar}}=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor padrão para ar seco). \rho=\frac{202705{,}8644}{287{,}058\times269{,}261111}.
  • Calcular o denominador: 287{,}058\times269{,}261111\approx77\,291{,}36
\rho\approx\frac{202705{,}8644}{77\,291{,}36}\approx2{,}6239\\ \mathrm{kg/m^3}.
Breve explicação: a equação dos gases ideais relaciona pressão, densidade e temperatura por meio da constante específica R. Em pressão mais alta (aqui \sim2 atm), a densidade aumenta proporcionalmente, reduzindo a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho.

Passo 6

Calcular a viscosidade cinemática em SI e converter para \mathrm{ft}^2/\mathrm{s}.
  • Primeiro em \mathrm{m^2/s}: \nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}6985\times10^{-5}}{2{,}6239}\approx6{,}474\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Converter metros quadrados para pés quadrados: 1\\ \mathrm{m}=3{,}28084\\ \mathrm{ft}\Rightarrow 1\\ \mathrm{m^2}=10{,}7639104\\ \mathrm{ft^2}. \nu_{\mathrm{ft^2/s}}=6{,}474\times10^{-6}\times10{,}7639104\approx6{,}97\times10^{-5}\\ \mathrm{ft^2/s}.

Passo 7

Comparação com as alternativas e conclusão:
  • O valor calculado \nu\approx6{,}97\times10^{-5}\\ \mathrm{ft^2/s} é muito próximo da alternativa (a) 6{,}89\times10^{-5}\\ \mathrm{ft^2/s}; a pequena diferença é debida a arredondamentos e a escolhas ligeiramente diferentes de constantes físicas (ex.: R, constantes de Sutherland).
  • Portanto a alternativa que coincide com o resultado prático é a (a).

Resposta

(a) 6,89\times10^{-5}\\ \mathrm{ft}^2/\mathrm{s}

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