Universidade Federal do Ceará - UFC
Calcule
(2,1,0) \times(1,0,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor resultante da operação entre os dois vetores dados:
  • Vetor \mathbf{a} = (2,1,0).
  • Vetor \mathbf{b} = (1,0,3).
A pergunta é: qual é o vetor \mathbf{a} \times \mathbf{b} (o resultado da operação indicada)?

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que vou usar (mostrando o que cada símbolo significa).
Se \mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b} = (b_1,b_2,b_3), então o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é o vetor cujas componentes são:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Explicando variáveis:
  • a_1,a_2,a_3 são as componentes do primeiro vetor (nos eixos x,y,z).
  • b_1,b_2,b_3 são as componentes do segundo vetor.
    Essa fórmula dá diretamente as componentes do vetor resultante. (Intuição rápida: cada componente é uma combinação das componentes dos vetores originais; o produto vetorial gera um vetor perpendicular a ambos.)

Passo 3

Identifico as componentes dos vetores fornecidos:
a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_3=0,
b_1=1,\quad b_2=0,\quad b_3=3.
Agora aplico a fórmula componente a componente.

Passo 4

Calculo da componente x (primeira componente):
a_2 b_3 - a_3 b_2 = 1\cdot3 - 0\cdot0 = 3 - 0 = 3.

Passo 5

Calculo da componente y (segunda componente):
a_3 b_1 - a_1 b_3 = 0\cdot1 - 2\cdot3 = 0 - 6 = -6.

Passo 6

Calculo da componente z (terceira componente):
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 2\cdot0 - 1\cdot1 = 0 - 1 = -1.

Passo 7

Juntando as componentes obtidas, o produto vetorial é
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (3,-6,-1).

Passo 8

Verificação rápida (confirmação didática): o produto vetorial deve ser perpendicular a ambos os vetores originais. Faço os produtos escalares para checar:
(3,-6,-1)\cdot(2,1,0)=3\cdot2+(-6)\cdot1+(-1)\cdot0=6-6+0=0,
(3,-6,-1)\cdot(1,0,3)=3\cdot1+(-6)\cdot0+(-1)\cdot3=3+0-3=0.
Ambos dão 0, logo o vetor resultado é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}, como esperado.

Resposta

(3,-6,-1)

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