Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Mostre que
Mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se para mostrar a igualdade
- As informações que temos (implicitamente):
e são vetores em , denota o comprimento (norma) de , isto é , é a norma de , e é o ângulo entre e , com .
Passo 2
Definições e fórmulas que usaremos (explicadas devagar).
- A definição componente a componente do produto vetorial é, se
e ,
Explicando: cada componente do vetor resultante é uma diferença de produtos das componentes de
e
.
- A norma (magnitude) de um vetor
é
Logo a norma ao quadrado é
.
- O produto escalar (dot product) é
E existe a relação geométrica entre produto escalar e ângulo:
onde
e
, e
é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
Escrever a norma ao quadrado do produto vetorial e expandir.
Começamos com
Usando a forma componente a componente:
Agora expandimos cada quadrado e agrupamos termos (vou mostrar os agrupamentos para ficar claro):
Agrupando os termos com
e os termos mistos, obtemos
Passo 4
Transformar o agrupamento em
.
Note que
, porque
. Substituindo cada par análogo nas linhas acima e reorganizando os termos, obtemos (mostrando os passos essenciais)
No parêntese da segunda linha reconhece-se a expansão de
, porque
Também
. Portanto
Esta identidade é conhecida como identidade de Lagrange:
Passo 5
Substituir a expressão do produto escalar pela sua forma em função do ângulo e obter a forma desejada.
Usando
na identidade anterior:
Passo 6
Tomar raiz quadrada e justificar o sinal.
Tirando raiz quadrada de ambos os lados e lembrando que a norma é não negativa, obtemos
Como o ângulo
entre vetores é escolhido no intervalo
, tem-se
, logo
. Portanto