Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
Mostre que
|\vec{A} \times \vec{B}|=A B \sin \theta

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se para mostrar a igualdade
|\vec{A}\times\vec{B}|=A B \sin\theta.
  • As informações que temos (implicitamente): \vec{A} e \vec{B} são vetores em \mathbb{R}^3, A denota o comprimento (norma) de \vec{A}, isto é A=|\vec{A}|, B=|\vec{B}| é a norma de \vec{B}, e \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}, com \theta\in[0,\pi].

Passo 2

Definições e fórmulas que usaremos (explicadas devagar).
  • A definição componente a componente do produto vetorial é, se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z),
\vec{A}\times\vec{B}=\bigl(A_yB_z-A_zB_y,\;A_zB_x-A_xB_z,\;A_xB_y-A_yB_x\bigr).
Explicando: cada componente do vetor resultante é uma diferença de produtos das componentes de \vec{A} e \vec{B}.
  • A norma (magnitude) de um vetor \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) é
|\vec{V}|=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}.
Logo a norma ao quadrado é |\vec{V}|^2=V_x^2+V_y^2+V_z^2.
  • O produto escalar (dot product) é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
E existe a relação geométrica entre produto escalar e ângulo:
\vec{A}\cdot\vec{B}=A B \cos\theta,
onde A=|\vec{A}| e B=|\vec{B}|, e \theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Escrever a norma ao quadrado do produto vetorial e expandir.
Começamos com
|\vec{A}\times\vec{B}|^2=(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{A}\times\vec{B}).
Usando a forma componente a componente:
\begin{aligned} |\vec{A}\times\vec{B}|^2 &=(A_yB_z-A_zB_y)^2+(A_zB_x-A_xB_z)^2+(A_xB_y-A_yB_x)^2. \end{aligned}
Agora expandimos cada quadrado e agrupamos termos (vou mostrar os agrupamentos para ficar claro):
\begin{aligned} |\vec{A}\times\vec{B}|^2 &=A_y^2B_z^2-2A_yA_zB_yB_z+A_z^2B_y^2\\\ &\quad +A_z^2B_x^2-2A_zA_xB_zB_x+A_x^2B_z^2\\\ &\quad +A_x^2B_y^2-2A_xA_yB_xB_y+A_y^2B_x^2. \end{aligned}
Agrupando os termos com A_x^2,A_y^2,A_z^2 e os termos mistos, obtemos
\begin{aligned} |\vec{A}\times\vec{B}|^2 &=A_x^2(B_y^2+B_z^2)+A_y^2(B_z^2+B_x^2)+A_z^2(B_x^2+B_y^2)\\\ &\quad -2\bigl(A_xA_yB_xB_y+A_yA_zB_yB_z+A_zA_xB_zB_x\bigr). \end{aligned}

Passo 4

Transformar o agrupamento em A^2B^2-(\vec{A}\cdot\vec{B})^2.
Note que B_y^2+B_z^2=B^2-B_x^2, porque B^2=B_x^2+B_y^2+B_z^2. Substituindo cada par análogo nas linhas acima e reorganizando os termos, obtemos (mostrando os passos essenciais)
\begin{aligned} |\vec{A}\times\vec{B}|^2 &=A_x^2(B^2-B_x^2)+A_y^2(B^2-B_y^2)+A_z^2(B^2-B_z^2)\\\ &\quad -2\bigl(A_xA_yB_xB_y+A_yA_zB_yB_z+A_zA_xB_zB_x\bigr)\\\ &=B^2(A_x^2+A_y^2+A_z^2) -\bigl(A_x^2B_x^2+A_y^2B_y^2+A_z^2B_z^2\\\ &\qquad +2(A_xA_yB_xB_y+A_yA_zB_yB_z+A_zA_xB_zB_x)\bigr). \end{aligned}
No parêntese da segunda linha reconhece-se a expansão de (\vec{A}\cdot\vec{B})^2, porque
(\vec{A}\cdot\vec{B})^2=(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)^2 =A_x^2B_x^2+A_y^2B_y^2+A_z^2B_z^2+2(A_xA_yB_xB_y+\cdots).
Também A_x^2+A_y^2+A_z^2=A^2. Portanto
|\vec{A}\times\vec{B}|^2=B^2A^2-(\vec{A}\cdot\vec{B})^2.
Esta identidade é conhecida como identidade de Lagrange:
|\vec{A}\times\vec{B}|^2=A^2B^2-(\vec{A}\cdot\vec{B})^2.

Passo 5

Substituir a expressão do produto escalar pela sua forma em função do ângulo e obter a forma desejada.
Usando \vec{A}\cdot\vec{B}=A B \cos\theta na identidade anterior:
\begin{aligned} |\vec{A}\times\vec{B}|^2 &=A^2B^2-(A B \cos\theta)^2\\\ &=A^2B^2-A^2B^2\cos^2\theta\\\ &=A^2B^2(1-\cos^2\theta)\\\ &=A^2B^2\sin^2\theta. \end{aligned}

Passo 6

Tomar raiz quadrada e justificar o sinal.
Tirando raiz quadrada de ambos os lados e lembrando que a norma é não negativa, obtemos
|\vec{A}\times\vec{B}|=A B |\sin\theta|.
Como o ângulo \theta entre vetores é escolhido no intervalo [0,\pi], tem-se \sin\theta\ge0, logo |\sin\theta|=\sin\theta. Portanto
|\vec{A}\times\vec{B}|=A B \sin\theta.

Resposta

|\vec{A}\times\vec{B}|=A B \sin\theta

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