A partir da declaração do problema, determine se o fluxo é incompressível
e quais propriedades físicas (
, etc.) podem ser consideradas como constantes.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar se o fluxo é incompressível, isto é analisar se vale
. - Dizer quais propriedades físicas entre
(densidade, condutividade térmica, viscosidade dinâmica, difusividade de massa, etc.) podem ser consideradas constantes.
Informações explicitamente dadas no enunciado:
- Apenas a pergunta geral; não foram fornecidos valores numéricos, nem indicação explícita de regime (gasoso/líquido), temperaturas, velocidades ou se a aproximação de Boussinesq é adotada.
(Portanto vou apresentar critérios e receitas que você usa ao analisar um enunciado real — sem pedir nada a mais.)
Passo 2
Equações e definições fundamentais — o que significa “incompressível”:
é a equação da continuidade generalizada (conservação de massa). Usando a regra do produto para divergência,
Definição de derivada material (seguindo uma partícula fluida):
Da continuidade segue também
Interpretações úteis:
- Se
é constante (no espaço e no tempo), então da continuidade obtemos . Neste caso costumamos dizer “fluxo incompressível” e trabalhar com . - A definição matemática pura de incompressibilidade é
. Em muitos problemas práticos essa condição é equivalente a assumir (porque se é constante então ). Mas atenção: não implica necessariamente que é espacialmente constante — implica que a densidade é transportada sem alteração por partícula ( ).
Passo 3
Critérios práticos para assumir incompressibilidade (quando, na prática, você pode substituir
por
e tratar
como constante):
- Fluxos de líquidos típicos (água, óleo) em condições usuais: líquidos são praticamente incompressíveis — densidade varia muito pouco com pressão/temperatura. Então normalmente
pode ser tomada constante e . - Gases de baixa velocidade: se o número de Mach satisfaz
(regra prática: ), os efeitos compressíveis são pequenos e pode-se tratar o gás como incompressível para a dinâmica. Exemplo: velocidade e velocidade do som ; . - Regime termoquimicamente quase-isotérmico e sem variações fortes de pressão: se as variações de temperatura e pressão forem pequenas, a densidade não muda muito e pode ser aproximada como constante.
- Boussinesq: quando as variações de densidade são pequenas e aparecem apenas no termo de empuxo (gravidade), adota-se
em todo lugar, exceto no termo . A condição prática é — normalmente .
Passo 4
Como usar isso ao ler um enunciado de prova (receita rápida):
- Procure palavras explícitas: “incompressible”, “density constant”, “Boussinesq”, “low-Mach”, “isothermal”. Se aparecerem, você pode usar
e constante. - Se disser “água à temperatura ambiente” e não der grandes variações térmicas/pressão, assuma incompressível.
- Se disser “ar a 100 m/s” verifique
: com isso dá — ainda dentro do limite prático , possivelmente aceitável como incompressível; se pedirem precisão termodinâmica, não assuma. - Se o enunciado der grandezas térmicas (diferenças de temperatura grandes) ou velocidades altas (
), não assuma incompressibilidade.
Passo 5
Quando podemos considerar propriedades como constantes? (explicação detalhada)
- Densidade
: - Pode ser considerada constante se as variações por temperatura/pressão/composição forem pequenas (regra prática: variação relativa
, ou usar Boussinesq para variação ). - Em líquidos normalmente vale; em gases só se
pequeno e variações térmicas/pressão pequenas.
- Pode ser considerada constante se as variações por temperatura/pressão/composição forem pequenas (regra prática: variação relativa
- Viscosidade
: - Depende fortemente de temperatura (para líquidos e gases). Para gases
(Sutherland aproximação, – ), para líquidos pode cair muito com . Se o problema é isoterma ou pequeno -> tomar constante. - Regra prática: se
varia menos de cerca de – no domínio, tratar como constante.
- Depende fortemente de temperatura (para líquidos e gases). Para gases
- Condutividade térmica
: - Também depende de
e composição; para pequenas diferenças de temperatura ou fluido puro, pode ser aproximada constante.
- Também depende de
- Difusividade de massa
: - Depende de temperatura e composição. Em mistura diluída e sem grandes gradientes de concentração/temperatura, tratar
constante é aceitável.
Observação didática: “pequeno” aqui significa que a variação da propriedade não altera significativamente os termos relativos das equações (por exemplo, não muda a ordem de grandeza do número de Reynolds, Prandtl, Schmidt etc.).
- Depende de temperatura e composição. Em mistura diluída e sem grandes gradientes de concentração/temperatura, tratar
Passo 6
Consequências nas equações se você adotar as aproximações (como usar na prova):
- Se assumir
const e fluido Newtoniano com const, a continuidade vira
e o termo viscoso no Navier–Stokes simplifica para
(forma linearizada habitual).
- Se assumir
const, a equação da energia conduz a um termo difusivo . - Se assumir
const, a equação de transporte de massa tem um termo difusivo .
Na prova: declare explicitamente a(s) hipótese(s) (ex.: “assumo fluxo incompressível e propriedades constantes porque o enunciado diz isoterma e Ma≪1”) antes de simplificar as equações.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (numéricos e intuitivos):
- Água, escoamento em tubo a 1 m/s, temperatura ~
: trate constante; e possivelmente constantes se não houver grandes variações térmicas ou reações. - Ar a
: geralmente aceitável assumir incompressível; porém se o problema envolver variações térmicas importantes (aquecimento forte) então não. - Gás supersônico (
) ou fluxos com choques/orelhas de compressão: não assumir incompressível, varia fortemente.
Passo 8
Resumo prático e checklist para usar na prova (passos a seguir sem medo):
- Olhe o enunciado por “incompressible / constant density / Boussinesq / low-Mach / isothermal”. Se aparecer: use
e trate como constante. - Se for líquido em condições normais e sem grandes variações térmicas: aceite incompressibilidade e propriedades constantes.
- Se for gás, calcule
. Se e sem grandes : incompressível é uma boa aproximação. - Para
: só tome constantes se o enunciado for isoterma ou se as variações esperadas forem pequenas (regra prática: variação <5–10%). - Sempre declare a hipótese que você está adotando antes de simplificar as equações na solução do exercício.
Resposta
Decisão sobre incompressibilidade: A afirmação
reduz a
(incompressibilidade na forma usual) somente se
puder ser tomada constante; em prática assume-se incompressível quando o fluido é líquido em condições normais, ou quando o gás tem
e não há grandes variações térmicas/pressão (ou sob a aproximação de Boussinesq se
).
Propriedades que podem ser consideradas constantes: (se as variações de pressão/temperatura/composição forem pequenas, típico para líquidos ou gases low‑Ma);
podem ser tomadas constantes quando o problema for isoterma ou as variações de temperatura/composição no domínio forem pequenas (regra prática: variações <~5–10%); caso contrário, não.
Propriedades que podem ser consideradas constantes: