Q5. A dipirona (metamizol®) é um fármaco utilizado para o alívio de dores e processos inflamatórios, cuja estrutura é:
NSOOOHONN
Dipirona sódica: \mathrm{C}_{13} \mathrm{H}_{17} \mathrm{~N}_{3} \mathrm{O}_{4} \mathrm{~S}-\mathrm{M}=311,35 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}-\mathrm{Ka}=1,70 \times 10^{-4}
Determine o pH de uma solução de dipirona preparada com 0,1000 \mathrm{~g} em um volume total de 1 litro. Determine também a concentração dipirona na solução em mol/L.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o pH de uma solução de dipirona preparada dissolvendo 0,1000\\ \mathrm{g} em 1{,}00\\ \mathrm{L}.
  • Determinar a concentração de dipirona nessa solução em \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Informações fornecidas:
  • Massa dissolvida: m = 0,1000\\ \mathrm{g}.
  • Volume da solução: V = 1{,}00\\ \mathrm{L}.
  • Massa molar: M = 311,35\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Constante de dissociação ácida: K_a = 1,70\times10^{-4}.

Passo 2

Calcular a quantidade de matéria (número de mols) de dipirona formada pela massa dada. A relação é
n=\frac{m}{M},
onde n é o número de mols, m é a massa em gramas e M é a massa molar em \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
Substituindo os valores:
n=\frac{0,1000}{311,35}.

Passo 3

Fazendo a divisão (mostrando o cálculo):
n \approx 0,00032118\\ \mathrm{mol} = 3,2118\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.
Como o volume é V=1{,}00\\ \mathrm{L}, a concentração molar inicial (concentração formal) é
c_0=\frac{n}{V}=3,2118\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Comentário didático curto: aqui foi usada a definição de concentração molar c=\dfrac{\text{mol}}{\text{volume (L)}}. Como o volume é 1\\ \mathrm{L}, a concentração numérica é igual ao número de mols.

Passo 4

Agora vamos calcular o pH. Modelamos a dipirona como um ácido fraco \mathrm{HA} que se dissocia:
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^{+}} + \mathrm{A^{-}}.
A constante de acidez é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H^{+}}][\mathrm{A^{-}}]}{[\mathrm{HA}]}.
Seja c_0 a concentração inicial de \mathrm{HA} (que calculamos) e x a concentração de \mathrm{H^{+}} que aparece em equilíbrio. Montamos a tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium):
  • Inicial: [\mathrm{HA}]=c_0,\; [\mathrm{H^{+}}]=0,\; [\mathrm{A^{-}}]=0 (assumindo água pura sem outros ácidos).
  • Variação: [\mathrm{HA}] \to c_0-x,\; [\mathrm{H^{+}}] \to x,\; [\mathrm{A^{-}}] \to x.
  • Equilíbrio: [\mathrm{HA}]=c_0-x,\; [\mathrm{H^{+}}]=x,\; [\mathrm{A^{-}}]=x.
Substituindo na expressão de K_a:
K_a=\frac{x\cdot x}{c_0-x}=\frac{x^2}{c_0-x}.

Passo 5

Aqui é importante verificar se a aproximação usual x\ll c_0 pode ser usada. A aproximação levaria a x\approx\sqrt{K_a c_0}. Vamos estimar:
\sqrt{K_a c_0}=\sqrt{(1,70\times10^{-4})\cdot(3,2118\times10^{-4})} \approx 7,39\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Esse valor é maior que c_0=3,2118\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, ou seja, a aproximação x\ll c_0 NÃO é válida. Portanto precisamos resolver a equação exata.
A equação a resolver é
K_a=\frac{x^2}{c_0-x}.
Multiplicando e rearranjando:
x^2 + K_a x - K_a c_0 = 0.
É uma equação quadrática em x.

Passo 6

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
x^2 + K_a x - K_a c_0 = 0,
temos
x=\frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4 K_a c_0}}{2}.
(Escolhe-se o sinal positivo na raiz porque x deve ser positivo.)
Agora substituímos os números:
K_a^2=(1,70\times10^{-4})^2=2,89\times10^{-8},
4 K_a c_0 = 4\cdot(1,70\times10^{-4})\cdot(3,2118\times10^{-4}) \approx 2,1840\times10^{-7},
K_a^2 + 4 K_a c_0 \approx 2,4720\times10^{-7},
\sqrt{K_a^2 + 4 K_a c_0}\approx 4,9719\times10^{-4}.
Portanto
x=\frac{-1,70\times10^{-4} + 4,9719\times10^{-4}}{2} \approx \frac{3,2719\times10^{-4}}{2}=1,63595\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Assim [\mathrm{H^{+}}]=x\approx 1,63595\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 7

Calcular o pH a partir de [\mathrm{H^{+}}]:
\text{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^{+}}]=-\log_{10}\!\bigl(1,63595\times10^{-4}\bigr).
Fazendo o logaritmo:
\text{pH}\approx 3,79.
Comentário final didático: o valor de K_a é relativamente grande em comparação com a concentração baixa de dipirona, por isso a dissociação é significativa e foi necessário resolver a equação quadrática para obter [\mathrm{H^{+}}] corretamente.

Resposta

\\ [\text{dipirona}] = 3,2118\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
\\ \text{pH} = 3,79

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