Um dipolo elétrico está dentro de uma superficie matemática esférica e o seu centro (ponto médio do segmento de reta que une as cargas) coincide com o centro da esfera. Um aluno de Física III afirmou que o fluxo elétrico sobre a superficie é nulo, e argumentou que, por ser esse fluxo igual a zero, o campo elétrico em cada ponto da mesma superficie também é nulo. Esse aluno está totalmente certo, certo em parte ou totalmente errado? Explique sucintamente por quê.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Foi colocada uma superfície esférica fechada e um dipolo elétrico está inteiramente dentro dessa esfera.
  • O centro do dipolo (ponto médio entre as cargas) coincide com o centro da esfera.
  • Um aluno afirma: (i) o fluxo elétrico total através da superfície é nulo; (ii) por isso, o campo elétrico em cada ponto da superfície também é nulo.
    A pergunta é: esse aluno está totalmente certo, certo em parte, ou totalmente errado? Explique sucintamente por quê.

Passo 2

Primeiro vamos ver se o fluxo total pela superfície é realmente nulo. Vou usar a Lei de Gauss (forma integral). A Lei de Gauss diz:
\oint_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},í
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o elemento de área orientado para fora, Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
No dipolo há duas cargas iguais e de sinais opostos, então
Q_{\text{int}}=+q+(-q)=0.
Substituindo na Lei de Gauss:
\oint_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.í
Portanto a afirmação (i) do aluno — o fluxo total é nulo — está correta.

Passo 3

Agora examinar a conclusão (ii): o aluno afirmou que, por o fluxo ser zero, o campo elétrico em cada ponto da superfície também é nulo. Vou explicar por que essa conclusão não segue da Lei de Gauss. Matematicamente, a Lei de Gauss dá um integral de \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}. O fato de uma integral sobre uma superfície ser zero não implica que o integrando seja zero em cada ponto. Um exemplo simples (analogia): a média de dois números +1 e -1 é zero, mas nenhum dos dois é zero. Portanto o integral (fluxo) pode ser zero por cancelamento entre contribuições positivas e negativas em diferentes regiões da superfície.

Passo 4

Para tornar a ideia concreta, mostro que o campo na superfície, em geral, não é nulo: tomo o dipolo orientado ao longo do eixo z. Modele o dipolo como duas cargas -q e +q localizadas em z=-a e z=+a respectivamente; o centro do dipolo está em z=0, que coincide com o centro da esfera de raio R>a. Calculo o campo ao longo do eixo z (ponto da superfície com \theta=0, isto é, no polo norte da esfera). Pelas leis de Coulomb, o componente z do campo devido às duas cargas, no ponto z=R, é
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\frac{q}{(R-a)^2}-\frac{q}{(R+a)^2}\right).
Faço a subtração no numerador:
\frac{q}{(R-a)^2}-\frac{q}{(R+a)^2} = q\frac{(R+a)^2-(R-a)^2}{(R-a)^2(R+a)^2} = q\frac{4aR}{(R^2-a^2)^2}.
Portanto
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{4q a R}{(R^2-a^2)^2}.
Se a\neq 0 (ou seja, se as cargas estão separadas), este E_z é diferente de zero: o campo no ponto da superfície sobre o eixo não é nulo. Isso fornece um contraexemplo claro à afirmação (ii) do aluno.

Passo 5

Uma outra maneira mais elegante (mas que corresponde ao mesmo raciocínio) é usar a expressão do campo dipolar para pontos externos (distância r> separação das cargas). O momento dipolar é \mathbf{p}=q(2a)\,\hat{\mathbf{z}}. Para r=R sobre a superfície a componente radial do campo dipolar é
E_r(r=R,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{R^3},
que depende de \theta e não é identicamente zero. Se calcularmos o fluxo:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi E_r(R,\theta)\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{R}\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0,
porque \displaystyle\int_0^\pi\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0. A integral é zero por simetria (cancelamento), mas o integrando E_r não é zero ponto a ponto. Isso reforça que fluxo zero não implica campo nulo em cada ponto.

Passo 6

Conclusão física e sucinta: a parte (i) do aluno está correta (fluxo total é zero porque a carga total interna é zero). A parte (ii) está errada: o fluxo nulo não implica que \mathbf{E}=0 em cada ponto da superfície — o campo pode ser localmente diferente de zero, com contribuições positivas e negativas que se cancelam ao integrar sobre toda a superfície.

Resposta

Certo em parte: o fluxo total é nulo (porque a carga total dentro da esfera é zero), mas o campo elétrico na superfície, em geral, não é nulo; o fluxo zero resulta de cancelamentos entre regiões com fluxos opostos.

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