Um dipolo elétrico está dentro de uma superficie matemática esférica e o seu centro (ponto médio do segmento de reta que une as cargas) coincide com o centro da esfera. Um aluno de Física III afirmou que o fluxo elétrico sobre a superficie é nulo, e argumentou que, por ser esse fluxo igual a zero, o campo elétrico em cada ponto da mesma superficie também é nulo. Esse aluno está totalmente certo, certo em parte ou totalmente errado? Explique sucintamente por quê.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Foi colocada uma superfície esférica fechada e um dipolo elétrico está inteiramente dentro dessa esfera.
- O centro do dipolo (ponto médio entre as cargas) coincide com o centro da esfera.
- Um aluno afirma: (i) o fluxo elétrico total através da superfície é nulo; (ii) por isso, o campo elétrico em cada ponto da superfície também é nulo.
A pergunta é: esse aluno está totalmente certo, certo em parte, ou totalmente errado? Explique sucintamente por quê.
Passo 2
Primeiro vamos ver se o fluxo total pela superfície é realmente nulo. Vou usar a Lei de Gauss (forma integral). A Lei de Gauss diz:
onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área orientado para fora,
é a carga total contida dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo.
No dipolo há duas cargas iguais e de sinais opostos, então
No dipolo há duas cargas iguais e de sinais opostos, então
Substituindo na Lei de Gauss:
Portanto a afirmação (i) do aluno — o fluxo total é nulo — está correta.
Passo 3
Agora examinar a conclusão (ii): o aluno afirmou que, por o fluxo ser zero, o campo elétrico em cada ponto da superfície também é nulo. Vou explicar por que essa conclusão não segue da Lei de Gauss. Matematicamente, a Lei de Gauss dá um integral de
. O fato de uma integral sobre uma superfície ser zero não implica que o integrando seja zero em cada ponto. Um exemplo simples (analogia): a média de dois números
e
é zero, mas nenhum dos dois é zero. Portanto o integral (fluxo) pode ser zero por cancelamento entre contribuições positivas e negativas em diferentes regiões da superfície.
Passo 4
Para tornar a ideia concreta, mostro que o campo na superfície, em geral, não é nulo: tomo o dipolo orientado ao longo do eixo
. Modele o dipolo como duas cargas
e
localizadas em
e
respectivamente; o centro do dipolo está em
, que coincide com o centro da esfera de raio
. Calculo o campo ao longo do eixo
(ponto da superfície com
, isto é, no polo norte da esfera). Pelas leis de Coulomb, o componente
do campo devido às duas cargas, no ponto
, é
Faço a subtração no numerador:
Portanto
Se
(ou seja, se as cargas estão separadas), este
é diferente de zero: o campo no ponto da superfície sobre o eixo não é nulo. Isso fornece um contraexemplo claro à afirmação (ii) do aluno.
Passo 5
Uma outra maneira mais elegante (mas que corresponde ao mesmo raciocínio) é usar a expressão do campo dipolar para pontos externos (distância
separação das cargas). O momento dipolar é
. Para
sobre a superfície a componente radial do campo dipolar é
que depende de
e não é identicamente zero. Se calcularmos o fluxo:
porque
. A integral é zero por simetria (cancelamento), mas o integrando
não é zero ponto a ponto. Isso reforça que fluxo zero não implica campo nulo em cada ponto.
Passo 6
Conclusão física e sucinta: a parte (i) do aluno está correta (fluxo total é zero porque a carga total interna é zero). A parte (ii) está errada: o fluxo nulo não implica que
em cada ponto da superfície — o campo pode ser localmente diferente de zero, com contribuições positivas e negativas que se cancelam ao integrar sobre toda a superfície.
Resposta
Certo em parte: o fluxo total é nulo (porque a carga total dentro da esfera é zero), mas o campo elétrico na superfície, em geral, não é nulo; o fluxo zero resulta de cancelamentos entre regiões com fluxos opostos.