Questão 17 - Um objeto move-se no plano x-y em movimento circular uniforme. O vetor posição deste objeto é dado por
onde as unidades estão no S.I. (a) Determine a velocidade e a aceleração (vetorial e em módulo) deste objeto. (b) Mostre que a aceleração (vetorial) é sempre perpendicular a velocidade (vetorial). (c) Determine a equação da trajetória deste objeto, ou seja
. R: (trajetória)
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição do objeto em função do tempo:
com unidades do S.I. (metros, segundos). O que pede:
(a) Determinar a velocidade vetorial
e a aceleração vetorial
, e também os módulos
e
.
(b) Mostrar que
é sempre perpendicular a
.
(c) Determinar a equação da trajetória
(ou seja, eliminar
e achar relação entre
e
).
Dados relevantes que vamos usar (estão no enunciado):
- Raio (módulo de
): m porque . - Frequência angular:
rad/s (aparece como argumento de seno e cosseno).
Passo 2
Regra que vamos usar para obter velocidade: derivada temporal componente a componente. Se
, então
A derivada de
é
e a derivada de
é
(isso é a regra da cadeia:
,
, aqui
).
Aplicando na expressão de
:
Multiplicando
:
Passo 3
Agora o módulo de
. O módulo de um vetor de componentes
e
é
.
Aqui
e
. Então
Como
,
Observação física rápida (útil na prova): para MCU (movimento circular uniforme) o módulo da velocidade é constante e igual a
. Aqui
e
dá
? (melhor lembrar:
, consistente).
Passo 4
Agora calculamos a aceleração vetorial
. Novamente derivamos componente a componente.
Derivando
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Multiplicando
:
Passo 5
Podemos relacionar
com
. Lembre que
. Então
Outra forma (mais geral) é escrever
. Aqui
então
e
, o que corresponde ao acima (repare que
já tem o fator
embutido).
Agora o módulo de
:
Isso também confere com a fórmula para aceleração centrípeta em MCU:
. Com
e
,
.
Passo 6
Mostrando que
é sempre perpendicular a
. Para isso uso o produto escalar: dois vetores são perpendiculares quando seu produto escalar é zero.
Calcule
. Usando as formas obtidas:
O produto escalar (componentes
e
) é
Fatorando
:
Como
para todo
, concluímos que
é sempre perpendicular a
. Intuição física: aceleração é centrípeta (aponta para o centro), velocidade é tangencial, logo são perpendiculares em MCU.
Passo 7
Equação da trajetória
. As componentes do vetor posição são
Eliminando
: elevar ao quadrado e somar
Portanto a trajetória é
ou seja, um círculo de raio
m centrado na origem.
Resposta
(a)
(b)
, portanto
é sempre perpendicular a
.
(c)