Questão 17 - Um objeto move-se no plano x-y em movimento circular uniforme. O vetor posição deste objeto é dado por \vec{r}=2,0[\cos (10 t) \hat{i}+\operatorname{sen}(10 t) \hat{j}] onde as unidades estão no S.I. (a) Determine a velocidade e a aceleração (vetorial e em módulo) deste objeto. (b) Mostre que a aceleração (vetorial) é sempre perpendicular a velocidade (vetorial). (c) Determine a equação da trajetória deste objeto, ou seja \mathrm{y}(\mathrm{x}). R: (trajetória) \mathbf{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{y}^{\mathbf{2}}=\mathbf{4}

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição do objeto em função do tempo:
\vec{r}(t)=2{,}0\big[\cos(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\sin(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big],
com unidades do S.I. (metros, segundos). O que pede:
(a) Determinar a velocidade vetorial \vec{v}(t) e a aceleração vetorial \vec{a}(t), e também os módulos |\vec{v}(t)| e |\vec{a}(t)|.
(b) Mostrar que \vec{a}(t) é sempre perpendicular a \vec{v}(t).
(c) Determinar a equação da trajetória y(x) (ou seja, eliminar t e achar relação entre x e y).
Dados relevantes que vamos usar (estão no enunciado):
  • Raio (módulo de \vec{r}): |\vec{r}|=2{,}0 m porque \sqrt{\cos^2+\sin^2}=1.
  • Frequência angular: \omega=10 rad/s (aparece como argumento de seno e cosseno).

Passo 2

Regra que vamos usar para obter velocidade: derivada temporal componente a componente. Se \vec{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathbf{i}}+y(t)\,\hat{\mathbf{j}}, então
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{dy}{dt}\,\hat{\mathbf{j}}.
A derivada de \cos(10t) é -10\sin(10t) e a derivada de \sin(10t) é 10\cos(10t) (isso é a regra da cadeia: \frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t), \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t), aqui \omega=10).
Aplicando na expressão de \vec{r}(t):
\vec{v}(t)=2{,}0\big[-10\sin(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+10\cos(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big].
Multiplicando 2{,}0\cdot10:
\vec{v}(t)=20{,}0\big[-\sin(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\cos(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big]\quad(\text{m/s}).

Passo 3

Agora o módulo de \vec{v}(t). O módulo de um vetor de componentes v_x e v_y é |\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Aqui v_x=20{,}0(-\sin(10t)) e v_y=20{,}0(\cos(10t)). Então
|\vec{v}(t)|=\sqrt{\big(20{,}0\sin(10t)\big)^2+\big(20{,}0\cos(10t)\big)^2} =20{,}0\sqrt{\sin^2(10t)+\cos^2(10t)}.
Como \sin^2+\cos^2=1,
|\vec{v}(t)|=20{,}0\\ \text{m/s}.
Observação física rápida (útil na prova): para MCU (movimento circular uniforme) o módulo da velocidade é constante e igual a \omega R. Aqui \omega=10 e R=2{,}0 \omega R=100\cdot2{,}0/10? (melhor lembrar: \omega R=10\cdot2{,}0=20{,}0, consistente).

Passo 4

Agora calculamos a aceleração vetorial \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Novamente derivamos componente a componente.
Derivando \vec{v}(t)=20{,}0[-\sin(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\cos(10t)\,\hat{\mathbf{j}}]:
  • Derivada de -\sin(10t) é -10\cos(10t).
  • Derivada de \cos(10t) é -10\sin(10t).
Portanto
\vec{a}(t)=20{,}0\big[-10\cos(10t)\,\hat{\mathbf{i}}-10\sin(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big].
Multiplicando 20{,}0\cdot10:
\vec{a}(t)=-200{,}0\big[\cos(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\sin(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big]\quad(\text{m/s}^2).

Passo 5

Podemos relacionar \vec{a}(t) com \vec{r}(t). Lembre que \vec{r}(t)=2{,}0[\cos(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\sin(10t)\,\hat{\mathbf{j}}]. Então
\vec{a}(t)=-200{,}0\big[\cos(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\sin(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big] = -100{,}0\;\vec{r}(t).
Outra forma (mais geral) é escrever \vec{a}=-\omega^2\vec{r}. Aqui \omega=10 então \omega^2=100 e -\omega^2\vec{r}=-100\vec{r}, o que corresponde ao acima (repare que \vec{r} já tem o fator 2{,}0 embutido).
Agora o módulo de \vec{a}(t):
|\vec{a}(t)|=200{,}0\sqrt{\cos^2(10t)+\sin^2(10t)}=200{,}0\\ \text{m/s}^2.
Isso também confere com a fórmula para aceleração centrípeta em MCU: a_c=\omega^2 R. Com \omega^2=100 e R=2{,}0, a_c=100\cdot2{,}0=200{,}0\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Mostrando que \vec{a}(t) é sempre perpendicular a \vec{v}(t). Para isso uso o produto escalar: dois vetores são perpendiculares quando seu produto escalar é zero.
Calcule \vec{v}\cdot\vec{a}. Usando as formas obtidas:
\vec{v}(t)=20{,}0\big[-\sin(10t),\\ \cos(10t)\big], \qquad \vec{a}(t)=-200{,}0\big[\cos(10t),\\ \sin(10t)\big].
O produto escalar (componentes x e y) é
\vec{v}\cdot\vec{a}=20{,}0(-\sin(10t))\cdot\big(-200{,}0\cos(10t)\big) +20{,}0(\cos(10t))\cdot\big(-200{,}0\sin(10t)\big).
Fatorando 20{,}0\cdot(-200{,}0)=-4000{,}0:
\vec{v}\cdot\vec{a}=-4000{,}0\big(-\sin(10t)\cos(10t)+\cos(10t)\sin(10t)\big)= -4000{,}0\cdot 0 = 0.
Como \vec{v}\cdot\vec{a}=0 para todo t, concluímos que \vec{a}(t) é sempre perpendicular a \vec{v}(t). Intuição física: aceleração é centrípeta (aponta para o centro), velocidade é tangencial, logo são perpendiculares em MCU.

Passo 7

Equação da trajetória y(x). As componentes do vetor posição são
x(t)=2{,}0\cos(10t),\qquad y(t)=2{,}0\sin(10t).
Eliminando t: elevar ao quadrado e somar
x^2(t)+y^2(t)=\big(2{,}0\cos(10t)\big)^2+\big(2{,}0\sin(10t)\big)^2 =4{,}0\big(\cos^2(10t)+\sin^2(10t)\big)=4{,}0.
Portanto a trajetória é
x^2+y^2=4{,}0,
ou seja, um círculo de raio 2{,}0 m centrado na origem.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t)=20{,}0\big[-\sin(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\cos(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big],\quad |\vec{v}(t)|=20{,}0\\ \text{m/s}.
\displaystyle \vec{a}(t)=-200{,}0\big[\cos(10t)\,\hat{\mathbf{i}}+\sin(10t)\,\hat{\mathbf{j}}\big],\quad |\vec{a}(t)|=200{,}0\\ \text{m/s}^2.
(b) \displaystyle \vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)=0, portanto \vec{a}(t) é sempre perpendicular a \vec{v}(t).
(c) \displaystyle x^2+y^2=4{,}0.

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