Questão 13 - A posição de um objeto em movimento varia com o tempo segundo a expressão \vec{r}=\left(80+15 t+3 t^{2}\right) \hat{i}-5 t^{2} \hat{j}+20 t \hat{k}. As unidades estão no SI. Calcule o módulo e o vetor (a) velocidade e (b) aceleração do corpo no instante t=5 \mathrm{~s}. (c) O movimento é uniforme, uniformemente acelerado ou um movimento mais geral? Justifique! (R: (módulos) \mathbf{v}=\mathbf{7 3 ~ m} / \mathbf{s} ; \mathbf{a}=\mathbf{1 2 ~ m} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}} )

Passo 1

O enunciado dá a posição do objeto em função do tempo:
\vec{r}(t)=\bigl(80+15t+3t^{2}\bigr)\hat{i}-5t^{2}\hat{j}+20t\hat{k},
com unidades no SI. O que pede:
  • (a) calcular o vetor velocidade \vec{v} e o seu módulo no instante t=5\\ \mathrm{s};
  • (b) calcular o vetor aceleração \vec{a} e o seu módulo no instante t=5\\ \mathrm{s};
  • (c) dizer se o movimento é uniforme, uniformemente acelerado ou mais geral, e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{r}(t) está explícita em componentes nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}.
  • Pedem valores no instante t=5\\ \mathrm{s}.
  • Unidades: metros e segundos (SI).

Passo 2

Definição e ideia prática: velocidade é a derivada temporal da posição e aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em fórmulas:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt},\qquad \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Explicação didática: como \vec{r}(t) está escrita por componentes, podemos derivar componente a componente. Derivar um polinômio em t segue a regra básica: se f(t)=c\,t^{n} então f'(t)=c\,n\,t^{n-1}. Cada número, coeficiente e variável será escrito em TeX.

Passo 3

Derivando componente a componente para obter \vec{v}(t).
A componente em \hat{i}:
\frac{d}{dt}\bigl(80+15t+3t^{2}\bigr)=0+15+6t=15+6t.
A componente em \hat{j}:
\frac{d}{dt}\bigl(-5t^{2}\bigr)=-10t.
A componente em \hat{k}:
\frac{d}{dt}\bigl(20t\bigr)=20.
Portanto o vetor velocidade geral é
\vec{v}(t)=(15+6t)\hat{i}-10t\hat{j}+20\hat{k}.

Passo 4

Avaliar \vec{v}(t) em t=5\\ \mathrm{s}.
Calcular componentes:
\begin{aligned} v_x(5)&=15+6\cdot 5=15+30=45,\\[4pt] v_y(5)&=-10\cdot 5=-50,\\[4pt] v_z(5)&=20. \end{aligned}
Então
\vec{v}(5)=45\hat{i}-50\hat{j}+20\hat{k}\quad(\mathrm{m/s}).
Para o módulo usamos a fórmula do comprimento de um vetor em 3D:
|\vec{v}(5)|=\sqrt{v_x(5)^{2}+v_y(5)^{2}+v_z(5)^{2}}=\sqrt{45^{2}+(-50)^{2}+20^{2}}.
Calcular os quadrados:
45^{2}=2025,\quad 50^{2}=2500,\quad 20^{2}=400.
Somando:
2025+2500+400=4925.
Portanto
|\vec{v}(5)|=\sqrt{4925}\approx 70{,}18\\ \mathrm{m/s}.]

Passo 5

Agora a aceleração: derivar \vec{v}(t) componente a componente.
Da expressão \vec{v}(t)=(15+6t)\hat{i}-10t\hat{j}+20\hat{k}:
Componente em \hat{i}:
\frac{d}{dt}(15+6t)=6.
Componente em \hat{j}:
\frac{d}{dt}(-10t)=-10.
Componente em \hat{k}:
\frac{d}{dt}(20)=0.
Logo
\vec{a}(t)=6\hat{i}-10\hat{j}+0\hat{k}=6\hat{i}-10\hat{j}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 6

A aceleração é constante (não depende de t), então em t=5\\ \mathrm{s} temos
\vec{a}(5)=6\hat{i}-10\hat{j}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Para o módulo:
|\vec{a}(5)|=\sqrt{6^{2}+(-10)^{2}}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}\approx 11{,}66\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Classificação do movimento (parte c) com justificativa didática e curta.
  • Movimento uniforme: exige \vec{a}=\vec{0}. Aqui \vec{a}\neq\vec{0}, logo não é movimento uniforme.
  • Movimento uniformemente acelerado: exige aceleração constante (vetor aceleração independente do tempo). Aqui \vec{a}(t)=6\hat{i}-10\hat{j} é constante, logo o movimento é uniformemente acelerado.
  • Não é um “movimento mais geral” no sentido de aceleração variável, porque a aceleração não varia com t.
Intuição: apesar das componentes da velocidade dependerem de t, a aceleração é constante — é exatamente a definição de movimento uniformemente acelerado.

Resposta

(a) \vec{v}(5)=45\hat{i}-50\hat{j}+20\hat{k}\\ \mathrm{m/s};\quad |\vec{v}(5)|\approx70{,}18\\ \mathrm{m/s}
(b) \vec{a}(5)=6\hat{i}-10\hat{j}\\ \mathrm{m/s^{2}};\quad |\vec{a}(5)|\approx11{,}66\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) Movimento uniformemente acelerado, pois \vec{a}(t)=6\hat{i}-10\hat{j} é constante (independe de t).

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