Questão 13 - A posição de um objeto em movimento varia com o tempo segundo a expressão
. As unidades estão no SI. Calcule o módulo e o vetor (a) velocidade e (b) aceleração do corpo no instante
. (c) O movimento é uniforme, uniformemente acelerado ou um movimento mais geral? Justifique! (R: (módulos)
)
Passo 1
O enunciado dá a posição do objeto em função do tempo:
com unidades no SI. O que pede:
- (a) calcular o vetor velocidade
e o seu módulo no instante ; - (b) calcular o vetor aceleração
e o seu módulo no instante ; - (c) dizer se o movimento é uniforme, uniformemente acelerado ou mais geral, e justificar.
Informações relevantes dadas:
-
está explícita em componentes nas direções . - Pedem valores no instante
. - Unidades: metros e segundos (SI).
Passo 2
Definição e ideia prática: velocidade é a derivada temporal da posição e aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em fórmulas:
Explicação didática: como
está escrita por componentes, podemos derivar componente a componente. Derivar um polinômio em
segue a regra básica: se
então
. Cada número, coeficiente e variável será escrito em TeX.
Passo 3
Derivando componente a componente para obter
.
A componente em
:
A componente em
:
A componente em
:
Portanto o vetor velocidade geral é
Passo 4
Avaliar
em
.
Calcular componentes:
Então
Para o módulo usamos a fórmula do comprimento de um vetor em 3D:
Calcular os quadrados:
Somando:
Portanto
Passo 5
Agora a aceleração: derivar
componente a componente.
Da expressão
:
Componente em
:
Componente em
:
Componente em
:
Logo
Passo 6
A aceleração é constante (não depende de
), então em
temos
Para o módulo:
Passo 7
Classificação do movimento (parte c) com justificativa didática e curta.
- Movimento uniforme: exige
. Aqui , logo não é movimento uniforme. - Movimento uniformemente acelerado: exige aceleração constante (vetor aceleração independente do tempo). Aqui
é constante, logo o movimento é uniformemente acelerado. - Não é um “movimento mais geral” no sentido de aceleração variável, porque a aceleração não varia com
.
Intuição: apesar das componentes da velocidade dependerem de
, a aceleração é constante — é exatamente a definição de movimento uniformemente acelerado.
Resposta
(a)
(b)
(c) Movimento uniformemente acelerado, pois é constante (independe de
).
(b)
(c) Movimento uniformemente acelerado, pois