Dipólo elétrico de um sistema de cargas pontuais. Dado um sistema de N cargas elétricas pontuais q1 ldots, qN no espaço d=3 e seus respectivos vetores posição rj, j=1, ldots, n a partir de uma origem O, o vetor definido por p=sumj=1^N qj rj é chamado de momento de dipólo do sistema de cargas. Em analogia ao centro de massa, o vetor
R=psumj=1^N qj=sumj=1^N qj rjsumj=1^N qj,
é o vetor posição do chamado centro de carga do sistema, que pode ser definido somente se o sistema não é neutro. (a) Utilizando resultados dos problemas anteriores, mostre que o momento de dipólo de um sistema neutro é independente da origem do sistema de coordenadas (ou seja, invariante pela translação da origem).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de p ;=;sumj=1^Nqj, rj cargas em posições a partir de uma origem . O momento de dipólo é
Se o sistema for neutro, , a gente tem que mostrar que não muda se a gente trocar a origem (ou seja, fazer uma translação).
Conteúdo: usamos conceitos de vetores, soma de cargas e regra de translação de coordenadas.

Passo 2

Suponha que a gente troque a origem r'j ;=; rj - a por uma nova origem , deslocada por um vetor . Então cada posição original passa a ser
Aqui estamos só aplicando a definição de como muda o vetor posição quando a origem anda: se eu mexo a origem no sentido de , todos os vetores ficam reduzidos de .

Passo 3

Vamos calcular o novo dipólo p' ;=;sumj=1^N qj, r'j ;=;sumj=1^N qjl( rj - ar) ;=;sumj=1^N qj, rj ;-;sumj=1^Nqj, a usando as posições p' = p - l(sumj=1^Nqjr), a :
p' = p - 0cdot a = p
Como é fixo em relação a , posso tirar fora da soma:
Mas o sistema é neutro, então . Logo

Resposta

Para sistema neutro ( ), o momento de dipólo é o mesmo em qualquer origem. Em outras palavras, é invariante por translação.

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