Dipólo elétrico de um sistema de cargas pontuais. Dado um sistema de
cargas elétricas pontuais
no espaço
e seus respectivos vetores posição
a partir de uma origem
, o vetor definido por
é chamado de momento de dipólo do sistema de cargas. Em analogia ao centro de massa, o vetor
é o vetor posição do chamado centro de carga do sistema, que pode ser definido somente se o sistema não é neutro. (a) Utilizando resultados dos problemas anteriores, mostre que o momento de dipólo de um sistema neutro é independente da origem do sistema de coordenadas (ou seja, invariante pela translação da origem).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de
cargas
em posições
a partir de uma origem
. O momento de dipólo é
Se o sistema for neutro,
, a gente tem que mostrar que
não muda se a gente trocar a origem (ou seja, fazer uma translação).
Conteúdo: usamos conceitos de vetores, soma de cargas e regra de translação de coordenadas.
Conteúdo: usamos conceitos de vetores, soma de cargas e regra de translação de coordenadas.
Passo 2
Suponha que a gente troque a origem
por uma nova origem
, deslocada por um vetor
. Então cada posição original
passa a ser
Aqui estamos só aplicando a definição de como muda o vetor posição quando a origem anda: se eu mexo a origem no sentido de
, todos os vetores ficam reduzidos de
.
Passo 3
Vamos calcular o novo dipólo
usando as posições
:
Como
é fixo em relação a
, posso tirar fora da soma:
Mas o sistema é neutro, então
. Logo
Resposta
Para sistema neutro (
), o momento de dipólo
é o mesmo em qualquer origem. Em outras palavras,
é invariante por translação.