Se
é uma curva fechada, de classe
por partes e orientada no sentido horário, então
?
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva fechada chamada
, que é suave (classe
) por partes e está orientada no sentido horário. A pergunta é se a integral de um campo vetorial
ao longo dessa curva é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e propriedades de campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Se a curva é fechada e o campo
for conservativo, a integral de linha será zero. Um campo conservativo tem a propriedade de que existe uma função potencial cuja derivada é igual a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a orientação da curva. A curva está orientada no sentido horário. Segundo o teorema de Green, se a curva é orientada positivamente (sentido anti-horário), a integral de linha pode ser relacionada à circulação do campo. Mas no sentido horário, a orientação é negativa. Mesmo assim, se o campo
for conservativo, a orientação da curva não afetará o resultado da integral; ela será zero.
Passo 4
Entretanto, o enunciado não nos diz se o campo
é conservativo. Sem essa informação, não podemos garantir que a integral seja zero. Existem campos não conservativos onde a integral de linha ao longo de uma curva fechada não é zero, independentemente da orientação.
Resposta
b. Falso