Se gamma é uma curva fechada, de classe C^1 por partes e orientada no sentido horário, então integralgamma F d gamma=0 ?
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva fechada chamada gamma, que é suave (classe C^1) por partes e está orientada no sentido horário. A pergunta é se a integral de um campo vetorial F ao longo dessa curva é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e propriedades de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Se a curva é fechada e o campo F for conservativo, a integral de linha será zero. Um campo conservativo tem a propriedade de que existe uma função potencial cuja derivada é igual a F.

Passo 3

Agora, vamos analisar a orientação da curva. A curva está orientada no sentido horário. Segundo o teorema de Green, se a curva é orientada positivamente (sentido anti-horário), a integral de linha pode ser relacionada à circulação do campo. Mas no sentido horário, a orientação é negativa. Mesmo assim, se o campo F for conservativo, a orientação da curva não afetará o resultado da integral; ela será zero.

Passo 4

Entretanto, o enunciado não nos diz se o campo F é conservativo. Sem essa informação, não podemos garantir que a integral seja zero. Existem campos não conservativos onde a integral de linha ao longo de uma curva fechada não é zero, independentemente da orientação.

Resposta

b. Falso

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