(a) Em que direção a derivada direcional de f(x, y)=(x^2-y^2) / x^2+y^2 em (1,1) é igual a zero?.
Rpta. (1 / raiz2, 1 / raiz2).
(b) Em que ponto arbitrario (x0, y0) no primeiro quadrante a derivada é zero.
Rpta. (x0 i+y0 j) / raizx0^2+y0^2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2 - y^2x^2+y^2
e pede a direção em que a derivada direcional em (1,1) é zero e, de modo geral, a direção em um ponto (x0,y0) do primeiro quadrante. Vamos usar gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f na direção do vetor unitário u=(u1,u2) é
Du f = nabla fcdot u
Para que Du f=0 basta que u seja ortogonal ao gradiente nabla f.

Passo 3

Usando a regra do quociente, defina N=x^2-y^2 e D=x^2+y^2. Então
partial fpartial x = (2x),D - N,(2x)D^2 = 2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2 = 4x,y^2(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y = (-2y),D - N,(2y)D^2 = -2y(x^2+y^2)-2y(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2 = -4x^2,y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Em (1,1) temos
nabla f(1,1) = l(4cdot1cdot1^2(1^2+1^2)^2,,-4cdot1^2cdot1(1^2+1^2)^2r) = (1,-1)
Qualquer vetor ortogonal a (1,-1) zera a derivada direcional. Um candidato é (1,1), que normalizado vira
u = (1,1)raiz1^2+1^2 = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 5

Em um ponto genérico (x0,y0) do primeiro quadrante,
nabla f(x0,y0) = l(4x0y0^2(x0^2+y0^2)^2,,-4x0^2y0(x0^2+y0^2)^2r)
Calculando o produto escalar com (x0,y0):
nabla f(x0,y0)cdot(x0,y0) = 4x0^2y0^2 - 4x0^2y0^2(x0^2+y0^2)^2 = 0,
mostra que (x0,y0) é ortogonal ao gradiente. Normalizando, a direção é
u = (x0,y0)raizx0^2+y0^2

Resposta

(a) l(1/raiz2,,1/raiz2r)
(b) l(x0/raizx0^2+y0^2,,y0/raizx0^2+y0^2r)

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