No tempo
, uma partícula é ejectada da superfície
do ponto
em direção da normal à superfície com uma rapidez de 10 unidades por segundo. Em que tempo cruza a esfera
.
Passo 1
O enunciado diz que, em
, uma partícula parte do ponto
sobre a superfície
com rapidez constante de
e direção normal à superfície naquele ponto. Ele pede o instante
em que essa partícula atinge a esfera
O que vamos usar: (1) o gradiente de uma função de nível para obter a normal, (2) a reta parâtrica dada pela posição inicial mais velocidade vezes
, e (3) a condição de interseção com a esfera, que leva a uma equação quadrática em
.
Passo 2
Seja
Então a normal não-unitária em
é
O módulo dessa normal é
Logo, o versor normal é
Passo 3
A velocidade inicial da partícula é
. Assim a reta trajetória
é
Em coordenadas:
Passo 4
Para cruzar a esfera devemos ter
Substituindo e somando:
onde
. Expandindo:
Passo 5
Como
temos
. A equação fica
Pela fórmula de Bhaskara,
Desprezando a raiz negativa, simplifica-se o resultado até