No tempo t=0, uma partícula é ejectada da superfície x^2+2 y^2+3 z^2=6 do ponto (1,1,1) em direção da normal à superfície com uma rapidez de 10 unidades por segundo. Em que tempo cruza a esfera x^2+y^2+z^2=103.

Passo 1

O enunciado diz que, em t=0, uma partícula parte do ponto (1,1,1) sobre a superfície
x^2+2y^2+3z^2=6
com rapidez constante de 10 e direção normal à superfície naquele ponto. Ele pede o instante t em que essa partícula atinge a esfera
x^2+y^2+z^2=103
O que vamos usar: (1) o gradiente de uma função de nível para obter a normal, (2) a reta parâtrica dada pela posição inicial mais velocidade vezes t, e (3) a condição de interseção com a esfera, que leva a uma equação quadrática em t.

Passo 2

Seja
F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-6
Então a normal não-unitária em (1,1,1) é
nabla F(1,1,1) = l(2cdot1,;2cdot2cdot1,;2cdot3cdot1r) = (2,4,6)
O módulo dessa normal é
|nabla F(1,1,1)| = raiz2^2+4^2+6^2 = raiz4+16+36 = raiz56 = 2raiz14
Logo, o versor normal é
u = (2,4,6)2raiz14 = (1,2,3)raiz14

Passo 3

A velocidade inicial da partícula é v0 = 10,u. Assim a reta trajetória r(t) é
r(t) = (1,1,1) + 10,(1,2,3)raiz14;t
Em coordenadas:
x(t) = 1 + 10raiz14,t, y(t) = 1 + 20raiz14,t, z(t) = 1 + 30raiz14,t

Passo 4

Para cruzar a esfera devemos ter
x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2=103
Substituindo e somando:
l(1+a tr)^2 + l(1+2a tr)^2 + l(1+3a tr)^2 =103,
onde a=10/raiz14. Expandindo:
3 + 12a,t + 14a^2t^2 =103 Longrightarrow 14a^2t^2 +12a,t -100 =0

Passo 5

Como a=10/raiz14 temos 14a^2=14cdot10014=100. A equação fica
100,t^2 +12,10raiz14,t -100=0 Longrightarrow 100t^2 + 120raiz14,t -100 =0
Pela fórmula de Bhaskara,
t = -120raiz14 pm raizl(120raiz14r)^2 + 4cdot100cdot1002cdot100
Desprezando a raiz negativa, simplifica-se o resultado até
t = raiz359;-;35,raiz14

Resposta

t = raiz359;-;35,raiz14segundos

Exercícios relacionados