Exercício: Resolva as E.D.O’s e PVI’s:
2 y(1+x^2)1+2 x^2 y^prime-2 x y^2(1+2 x^2)^2=1

Passo 1

O enunciado nos dá a E.D.O. de primeira ordem
2,y,(1+x^2)1+2x^2;y' ;-;2,x,y^2(1+2x^2)^2;=;1
Isso é uma equação não linear do tipo
y' = P(x),y + Q(x),1y,
que podemos resolver fazendo a substituição u=y^2.

Passo 2

Vamos isolar y'. Dividindo ambos os lados por 2y(1+x^2)1+2x^2 obtemos
y' ;=;1+2x^22y(1+x^2) ;+;2x,y^2(1+2x^2)^2;cdot;1+2x^22y(1+x^2)
Simplificando cada termo, chega-se a
y' ;=;1+2x^22(1+x^2),1y ;+;x(1+x^2)(1+2x^2);y

Passo 3

Definimos u=y^2. Então
u' = 2y,y' = 2!l[1+2x^22(1+x^2) + x(1+x^2)(1+2x^2);y^2r] = 1+2x^21+x^2 ;+;2x(1+x^2)(1+2x^2);u
Reescrevendo em forma padrão de equação linear em u:
u' ;-;2x(1+x^2)(1+2x^2);u ;=;1+2x^21+x^2

Passo 4

O coeficiente de u é
p(x) = -,2x(1+x^2)(1+2x^2)
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(-integral 2x(1+x^2)(1+2x^2),dxr) = 1+x^21+2x^2

Passo 5

Multiplicando a equação linear por mu(x) obtemos
ddxl[mu(x),ur] ;=;1
Integrando em x:
mu(x),u = x + C ;Longrightarrow; u(x) = y^2 = 1+2x^21+x^2,(x + C)

Passo 6

Voltando a y, a solução geral fica
y(x) = pm raiz1+2x^21+x^2,(x + C)

Resposta

boxedy^2 = 1+2x^21+x^2,(x + C) Longrightarrow y(x)=pmraiz1+2x^21+x^2,(x + C)

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