Mostre que as superfícies definidas por 3 x^2+4 y^2+8 z^2=24 e x^2+2 y^2-4 z^2=4, são ortogonais uma com outra em qualquer ponto em comum. (Duas superfícies são ortogonais em um ponto se seus planos tangentes são perpendiculares um a outro no ponto comúm, ou equivalentemente se os vetores normais são perpendiculares) (Sug. Ache os vetores normais a cada superfície em qualquer ponto ( x, y, z ). Mostre que o produto interno é 12 x^2+32 y^2-128 z^2, que pode ser escrito como
(-4)(3 x^2+4 y^2+8 z^2)+24(x^2+2 y^2-4 z^2)
E observe que ( x, y, z ) satisfaz as duas equações das superfícies.)

Passo 1

Somos dados as superfícies
S1:3x^2+4y^2+8z^2=24,
S2:x^2+2y^2-4z^2=4
Queremos mostrar que elas são ortogonais em qualquer ponto comum. Para isso usamos que o vetor normal à superfície F(x,y,z)=c é nabla F, e ortogonalidade dos planos tangentes equivale a nabla F1cdotnabla F2=0.

Passo 2

Definimos
F1(x,y,z)=3x^2+4y^2+8z^2,
F2(x,y,z)=x^2+2y^2-4z^2
Os vetores normais são
nabla F1=(6x,,8y,,16z),
nabla F2=(2x,,4y,,-8z)

Passo 3

Calculamos o produto interno:
nabla F1cdotnabla F2 =6xcdot2x+8ycdot4y+16zcdot(-8z) =12x^2+32y^2-128z^2

Passo 4

Reescrevemos esse resultado como combinação das duas equações originais:
12x^2+32y^2-128z^2 =(-4),(3x^2+4y^2+8z^2)+24,(x^2+2y^2-4z^2)

Passo 5

Em um ponto comum vale
3x^2+4y^2+8z^2=24 e x^2+2y^2-4z^2=4
Logo
nabla F1cdotnabla F2 =(-4)cdot24+24cdot4=0,
mostrando que os vetores normais são perpendiculares.

Resposta

As superfícies são ortogonais em qualquer ponto em comum, pois o produto interno de seus vetores normais é zero.

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