Mostre que as superfícies definidas por
e
, são ortogonais uma com outra em qualquer ponto em comum. (Duas superfícies são ortogonais em um ponto se seus planos tangentes são perpendiculares um a outro no ponto comúm, ou equivalentemente se os vetores normais são perpendiculares) (Sug. Ache os vetores normais a cada superfície em qualquer ponto (
). Mostre que o produto interno é
, que pode ser escrito como
E observe que (
) satisfaz as duas equações das superfícies.)
Passo 1
Somos dados as superfícies
Queremos mostrar que elas são ortogonais em qualquer ponto comum. Para isso usamos que o vetor normal à superfície
é
, e ortogonalidade dos planos tangentes equivale a
.
Passo 2
Definimos
Os vetores normais são
Passo 3
Calculamos o produto interno:
Passo 4
Reescrevemos esse resultado como combinação das duas equações originais:
Passo 5
Em um ponto comum vale
Logo
mostrando que os vetores normais são perpendiculares.
Resposta
As superfícies são ortogonais em qualquer ponto em comum, pois o produto interno de seus vetores normais é zero.