Em que direção a derivada direcional de f(x, y)=x y ln (x y)-x y em P=(ab, ba), com a cdot b>0, é igual a zero?

Passo 1

O enunciado pede a direção em que a derivada direcional de f(x,y)=x yln(xy)-xy em P=(tfracab,tfracba) é zero. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente de função de duas variáveis, e vamos precisar usar definição de derivada direcional como produto escalar com o gradiente.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. Defina u(x,y)=x y. Então f(x,y)=uln u -u Pela regra da cadeia, temos
partial fpartial x=(ln u+1)partial upartial x-partial upartial x=uxln u,
mas ux=partialpartial x(xy)=y. Logo
fx=yln u

Passo 3

Similarmente, uy=x e
fy=xln u

Passo 4

Agora avaliamos em P. Em P,
u(P)=x y=abcdotba=1,ln u(P)=0

Passo 5

Logo o gradiente em P é
nabla f(P)=(fx(P),fy(P))=(yln u,,xln u)|u=1=(0,0)

Passo 6

Como a derivada direcional em direção unitária v é D vf(P)=nabla f(P)cdot v, e nabla f(P)=0, concluímos que esse produto escalar vale zero para qualquer v.

Resposta

A derivada direcional é zero em qualquer direção (para todo vetor unitário).

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