Em que direção a derivada direcional de em , com , é igual a zero?
Passo 1
O enunciado pede a direção em que a derivada direcional de em é zero. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente de função de duas variáveis, e vamos precisar usar definição de derivada direcional como produto escalar com o gradiente.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de . Defina . Então Pela regra da cadeia, temos
mas . Logo
Passo 3
Similarmente, e
Passo 4
Agora avaliamos em . Em ,
Passo 5
Logo o gradiente em é
Passo 6
Como a derivada direcional em direção unitária v é D vf(P)=nabla f(P)cdot v, e nabla f(P)=0, concluímos que esse produto escalar vale zero para qualquer v.
Resposta
A derivada direcional é zero em qualquer direção (para todo vetor unitário).