Em que direção e sentido a função
cresce mais rapidamente a partir do ponto
e qual é a taxa máxima de crescimento? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente e qual é a taxa mínima de decrescimento?
Passo 1
Resumo da questão: Queremos descobrir em qual direção e sentido a função
cresce mais rapidamente a partir do ponto
, além de encontrar a taxa máxima de crescimento. Também precisamos saber em qual direção e sentido a função decresce mais rapidamente e qual é a taxa mínima de decréscimo.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função de duas variáveis. O gradiente indica a direção em que a função cresce mais rapidamente, e sua magnitude (ou tamanho) nos dá a taxa máxima de crescimento nessa direção.
Necessário para resolver: Precisamos calcular o gradiente de
no ponto
e entender como ele determina as direções de crescimento e decréscimo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
A direção de crescimento mais rápido é a direção do gradiente, ou seja, na direção do vetor
. Para facilitar, podemos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário (vetor com magnitude 1):
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Passo 8
A taxa máxima de crescimento é igual à magnitude do gradiente no ponto avaliado:
Passo 9
A direção de decréscimo mais rápido é na direção oposta ao gradiente, ou seja, na direção do vetor
. Normalizando esse vetor, temos:
Passo 10
A taxa mínima de decréscimo é igual ao negativo da magnitude do gradiente:
Resposta
A função
cresce mais rapidamente na direção do vetor
com uma taxa máxima de crescimento de
. Ela decresce mais rapidamente na direção oposta, ou seja, no vetor
, com uma taxa mínima de decréscimo de
.