Em que direção e sentido a função f(x, y)=x^2+x y+y^2 cresce mais rapidamente a partir do ponto (1,1) e qual é a taxa máxima de crescimento? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente e qual é a taxa mínima de decrescimento?

Passo 1

Resumo da questão: Queremos descobrir em qual direção e sentido a função f(x, y) = x^2 + xy + y^2 cresce mais rapidamente a partir do ponto (1,1), além de encontrar a taxa máxima de crescimento. Também precisamos saber em qual direção e sentido a função decresce mais rapidamente e qual é a taxa mínima de decréscimo.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função de duas variáveis. O gradiente indica a direção em que a função cresce mais rapidamente, e sua magnitude (ou tamanho) nos dá a taxa máxima de crescimento nessa direção.
Necessário para resolver: Precisamos calcular o gradiente de f(x, y) no ponto (1,1) e entender como ele determina as direções de crescimento e decréscimo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de f em relação a x :
partial fpartial x = 2x + y

Passo 4

Calculando a derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = x + 2y

Passo 5

Portanto, o gradiente de f é:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x + y, x + 2y)

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):
nabla f(1,1) = (2(1) + 1, 1 + 2(1)) = (3, 3)

Passo 7

A direção de crescimento mais rápido é a direção do gradiente, ou seja, na direção do vetor (3, 3) . Para facilitar, podemos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário (vetor com magnitude 1):
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
||nabla f(1,1)|| = raiz3^2 + 3^2 = raiz18 = 3raiz2
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
( 33raiz2, 33raiz2 ) = ( 1raiz2, 1raiz2 )

Passo 8

A taxa máxima de crescimento é igual à magnitude do gradiente no ponto avaliado:
Taxa máxima de crescimento = 3raiz2 á

Passo 9

A direção de decréscimo mais rápido é na direção oposta ao gradiente, ou seja, na direção do vetor (-3, -3) . Normalizando esse vetor, temos:
( -33raiz2, -33raiz2 ) = ( -1raiz2, -1raiz2 )

Passo 10

A taxa mínima de decréscimo é igual ao negativo da magnitude do gradiente:
Taxa mínima de decréscimo = -3raiz2 íé

Resposta

A função f(x, y) = x^2 + xy + y^2 cresce mais rapidamente na direção do vetor ( 1raiz2, 1raiz2 ) com uma taxa máxima de crescimento de 3raiz2 . Ela decresce mais rapidamente na direção oposta, ou seja, no vetor ( -1raiz2, -1raiz2 ) , com uma taxa mínima de decréscimo de -3raiz2 .

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