Utilize a técnica de integração por partes para resolver as integrais nas questões a seguir.
integral0^1 x sin ^-1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^1 x sin^-1x , dx. A gente vai usar uma técnica chamada integração por partes. Basicamente, ela ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos escolher duas partes na nossa integral: uma para ser u e outra para ser dv. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral iremos chamar de u e qual de dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, sin^-1x (ou arco seno de x) deixa de ser mais simples quando derivada em comparação com x, então vamos escolher:
u = sin^-1x
Então, o que sobra será dv:
dv = x , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, vamos derivar u e integrar dv.
Derivando u:
du = ddx (sin^-1x) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx
Integrando dv:
v = integral x , dx = x^22

Passo 4

Com u, du, v e dv definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo nossas funções:
integral x sin^-1x , dx = sin^-1x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1raiz1 - x^2 , dx
= x^22 sin^-1x - 12 integral x^2raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
integral x^2raiz1 - x^2 , dx
Para isso, vamos fazer uma substituição simples. Seja:
t = 1 - x^2
Então:
dt = -2x , dx
Mas não precisamos complicar muito. Note que x^2raiz1 - x^2 = 1 - (1 - x^2)raiz1 - x^2 = 1raiz1 - x^2 - raiz1 - x^2
Então:
integral x^2raiz1 - x^2 , dx = integral 1raiz1 - x^2 , dx - integral raiz1 - x^2 , dx
Sabemos que:
integral 1raiz1 - x^2 , dx = sin^-1x
E:
integral raiz1 - x^2 , dx = x2 raiz1 - x^2 + 12 sin^-1x
Então, juntando tudo:
integral x^2raiz1 - x^2 , dx = sin^-1x - ( x2 raiz1 - x^2 + 12 sin^-1x )
= 12 sin^-1x - x2 raiz1 - x^2

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral0^1 x sin^-1x , dx = [ x^22 sin^-1x ]0^1 - 12 [ 12 sin^-1x - x2 raiz1 - x^2 ]0^1
Vamos avaliar os limites:
Para x = 1:
sin^-11 = pi2
raiz1 - 1^2 = 0
Para x = 0:
sin^-10 = 0
raiz1 - 0^2 = 1
Então:
[ 1^22 cdot pi2 ] - 12 [ 12 cdot pi2 - 0 ]
= pi4 - 12 cdot pi4
= pi4 - pi8
= pi8

Resposta

O valor da integral integral0^1 x sin^-1x , dx é pi8.

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