Utilize a técnica de integração por partes para resolver as integrais nas questões a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar uma técnica chamada integração por partes. Basicamente, ela ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos escolher duas partes na nossa integral: uma para ser
e outra para ser
. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da integral iremos chamar de
e qual de
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui,
(ou arco seno de x) deixa de ser mais simples quando derivada em comparação com
, então vamos escolher:
Então, o que sobra será
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, vamos derivar
e integrar
.
Derivando :
Derivando
Integrando
:
Passo 4
Com
,
,
e
definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo nossas funções:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral que ficou:
Para isso, vamos fazer uma substituição simples. Seja:
Então:
Mas não precisamos complicar muito. Note que
Então:
Então:
Sabemos que:
E:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Vamos avaliar os limites:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
O valor da integral
é
.